328 第8章 いろいろな曲線
練習問題 6
双曲線C:ュー=1 の漸近線をしりとする。 C上の点Pにおける接
線との交点をそれぞれQ, R とするとき, OQORは一定であるこ
とを示し、その値を求めよ.
練習問題5では, 放物線上の点を1つの変数t を用いて表しました。
が,双曲線の場合は,それは難しいです.そこで,その点を
(a, b) のように2つの文字でおき, その代わり, α, 6の満たすべき関係式を
用意する,というのが式処理のポイントになります。
解答
双曲線 C:x2-y2=1 の漸近線は
l:y=x l:y=-x
である. 点Pの座標を (a, b) とおくと, 点PはC
上の点なので
α2-62=1
・① a,bの満たす関係式
yy=x
Q
P(a,b)
0
I
・R-
(a, b) における, 曲線Cの接線の方程式は
ax-by=1
②と y=xからy を消去すると xx-y.y=1
■接線の公式
y=-x
x²-y²=1
(a-b)x=1
↓
x=-
1
Ca-b+
②とy=-x からyを消去すると
(a+b)x=1
x=
1
a+b+
ax-by=1
(P(a, b) は y=x上に
はないので,a-b=0
であることに注意
P(a, b) は y=-x 上
にはないので, a+b=0
であることに注意
√√2
V (a-b) a-b|
1
1
1
よって, Q
R
a-b'
a-bl
a+b'
a+b
1
2
1
2
OQ=
+
=
a-b
a-b
1 2
OR=
1
2
+
a+b
OQOR=
2
21
a+b
2
la-6||a+6|102-62|
2
(a+b)2
||||=|| ①より
=
=2
√2
|a+b\
「最後に α 6の関係式が
いきてくる