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数学 高校生

解法2の方ですが、なぜ(n+2)(n+1)を両辺にかけるのですか?

例題296 漸化式 an+1=f(n) an FOTO *** a=1,(n+3)an+1= nan で定義される数列{an}の一般項an を求めよ. 考え方 解答 1 漸化式は an+1=- an+1= f(n)an となる。 ここで, 解答1 漸化式を変形して このとき, az= ■解答 2 漸化式の両辺に(n+2) (n+1)を掛けると, (n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1) an+1=f(n)an=f(n){f(n-1)an)=f(n)f(n-1){f(n-2) これをくり返すと, an+1=f(n)f(n-1) f (n-2)......f (1) at nam となる. bn=(n+2)(n+1) nam とおくと, この式はbn+1=bnとなる。 28 an...... ① an n n+gan と変形できて, f(n)=_" an= an+1= a3= 2+30 392= n≧4 のとき, ① をくり返し用いると, n-1. n-2.n-3.n-4 n+2n+1 n 3 2 1 6 •1 = n+2 n +1 n n(n+1)(n+2) n n+3a 1 1+391 4' よって, ● 1 2 2+3 1+34 この式はn=1,2,3のときも成り立つ . よって, n-1 an=- 3 漸化式と数学的帰納法 6 n(n+1)(n+2) A₁ = 解答2 漸化式の両辺に(n+2)(n+1)を掛けると, (n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)nan 6 n(n+1)(n+2) 10 4.3.2.1 7 6 5 4 したがって, bn=bn-1=bn-2=.....=b1 ここで,b=(1+2)・(1+1)・1・α=6 より,_bı=6 bn=(n+2)(n+1)nan であるから, (n+2)(n+1)nan=6 n+3 cin とおくと, Inde .Fai an= n-1 n+2an-1 n-1n-2 n+2n+1 a=1 25/19 (-102 bn=(n+2)(n+1)nan とおくと, ②はbn+1=6mとなり, =(n+2)(n+1)nan これはすべての自然数nに対して成り立つ. (n+3)(n+2) mm -An-2 a=1 x(n+1)an+1 523 第8章

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数学 高校生

付箋で書いてある式がでて、その後解答に書いてあるように変形する思考を教えてください! 言われればそうなんだと思うのですが、何を考えて変形すれば良いのですか?

基本例題 9 等差数列と等比数列 00000 等差数列{an} と等比数列{bn} において,公差と公比が同じ値d (≠0) をとる。 初項に関しても同じ値α=b=a(>0) をとる。 α3=b3, a9=bs が成り立つとき a, d の値を求めよ。 [類 京都学園大] 基本94 重要 100 指針条件から,初項αと公差(公比) d の方程式を作り,それを解く。 まず, a を消去することを考えるとよい。なお,計算の際α, dの符号の条件に注意する。 CAR 解答 数列{an}は等差数列であるから 数列{bn}は等比数列であるから bn=adn-1 I a3=63 から a+2d=ad2 2d=a(d²-1) a+8d=ad4 8d=a(d¹-1) 1α=b₁²5 と, S 比1万 ② を変形すると 8d=a(d²-1)(d²+1) ①を代入して ゆえに d0であるから 和であ 8d=2d(d2+1) d(d²-3)=0 d2=3 [1] d=√3のとき、①から これは a>0 を満たし,適する。 2d=-√3のとき, ① から an=a+(n-1)d これはα> 0 を満たさず、不適。 したがって a = √3, d=√3 だに ① ② よって a= a= 2√3 3-1 利用に気づきにくい。 d=±√3-VE] = 解答で 「d=±1 のとき① は成り立たないから d≠±1」 と断れば, ②÷① atad=ad² at8d=ad4 = √3 -2√3 3-1 ********* -= -√√√3 8d a(d-1) = 2d a(d²-1) より 4 = d'+1 を導くこと もできる。 である。 すなわち 例の数列{an},{bn} の項を書き出してみると 等差数列と等比数列の共通項- (a):√3, 2√3, 3√3, 4√3, 5√3, 6√3, 7√3, 8/3, 9/3, 10/3, (b): √3, 3, つの数列の共通項は √33/39/3,273, 3√3, 9, 9√3, 27, 27√3, これを「初項/3,公比3の等比数列」と考えると, 一般項は3.3"-1=3"se [v33 (数学ⅡI 参照)と考えられる (重要例題100 参照)

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数学 高校生

この問題の(2)なんですが、3のn+ 1乗>=10^9+1ならば、3^n+ 1>10^9になる理由がわかりません。 この変形が成り立つためになぜnが自然数である必要があるのでしょうか?

38 nを自然数とし, 3 進法で表したとき11の後に0がn個続く数を a とする。 すなわち, an=1100......0 (3) である。 (1) an 10進法で表して素因数分解せよ。 (2) 以下、すべて10進法で考える。 an の正の約数の和を S とする。 S≧35×10°とな の自然数nを求めよ。 ただし, log10 30.4771 とする。 [類関 針 n (1) まずは, an を10進法で表す。 3” でくくると素因数分解できる。 (2) 正の約数の和は,(1) で示した素因数分解の結果を用いる。………B 和の計算では,等比数列の和の公式を用いる。 ...... C 10°+1のままでは,両 使用対数をとっても右辺 がうまくできない。 nが自然数のとき +1 と 3 +110°が あることを利用し, ●の常用対数をとっ [AI 条件 S, ≧ 35×10°から,nを指数に含む不等式が出てくる。両辺の常用対数をとる とにより n を求める。 (¹) (2) Sn=(1+2+2²)(1+3+······+3²) (1) an を 10進法で表すと an=1100・・・・・・・0 (3)=1・3n+1+1・3"=3"(3+1)=2・3” =7.1(3"+1−1)_7 3-1 Sn≧35×10° とすると よって ゆえに 3+1≧ 10°+1 3n+1−110° 第11章 数 2 - (3+1−1) 7 1/12 (3+1-1 37110°+1) (3"+1−1)≧35×10° nは自然数であるから 3n+1>10⁹ この不等式の両辺の常用対数をとると log103n+1 > 10g10 10° (n+1)×0.4771>9 9 0.4771 (+4)(1+ よって ゆえに n+1> = 18.8...... これを満たす最小の自然数nは n=18 したがって, Sn≧ 35 × 10° となる最小の自然数nは18 333

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