●6 放物線/接線
(1) 放物線y=xの2本の接線, hが点 (a, b) で交わるとする. 接線g, hが直交するための
a b の条件を求めよ.
(2) (a,b)が(1)で求めた条件をみたしながら動くとき 2接線g の2つの接点を結ぶ直線
は常にある定点を通ることを示せ.
(津田塾大国際関係)
放物線と直線が接する
この条件は,放物線と直線の方程式を連立して得られる2次方程式が重解
の交をもつこととしてとらえることができる (判別式D=0).
1つ
また,例えば,y=kr2とy=mx+nがx=αで接する条件は,
k2-(m²+n)=k(x-α) と表せる
ととらえることができる (左辺 =0はx=αを重解にもち、左辺のの係数がkであることから).
放物線上のαにおける接線 通常は微分法でとらえる。 ☆を使うこともできる。 ☆により,
y=kr2のx=αにおける接線の方程式は,y=kr2-k(r-α)により,y=2kar-ka2 となる.
解答量
7855x
①接接を求める→文字
、
→(ab)きる
(人指す)。
を押す
v=a
(1)点(a, b)を通る傾きの直線y=m(x-a)+bがy=2と接する条件実を2つ(金)→
..
x²-mx+(ma-b)=0·
は、x=m(x-a)+b
が重解をもつことで, 判別式をDとすると, D=0
D=m²-4(ma-b) が0であるから, m²-4am+46=0
mi
mの2次方程式 ②の実数解が,点 (a, b) を通る接線の傾きを表すから, 2接線
の直交条件は,②の2解の積46が-1であること.
mm2=dB
・仕出して
したがって,求める条件は, b=
b=-1/2 (任意)
2
(2) ①が重解をもつとき,
m
エ
=0 となるから,重解は
m
であり,これ
2
・mixm2=-1
一般に,実数係数の2次方程式
x+c+d=0の2 解α β が
αβ < 0 を満たすとき,解と係数の
"関係から d <0 であり、 判別式
D=c4d0 となるので, 2
は異なる実数であることが保
される.
B2
4
4
a
直線の式
a
B
22
+
は接点の座標である。 よって、②の2解をα β とすると, 2つの接点は,
B2
(1) (1) である.この2点を通る直線の傾きは十日
4
a
B
2
4
2'
a+B
a
a²
a+B
aB
は、y=-
エー
+
I
2
2
4
2
4
2
②の解と係数の関係により,α+B=4a, aβ=4b=-1
よって③ は, y=2ar+
4
1 であり、定点 10, 1/4) を通る。
注 (1) 直交する2接線の交点の軌跡が直線y=-
ということ.
4
2 2
B-2
← “焦点”と呼ばれる. (数Ⅲ)
“準線”と呼ばれる. (数Ⅲ)
06 演習題(解答は p.101)
2
放物線y=-22 上の原点以外の2点P,Qを接点とする接線の交点をRとする。さら
日の中点をMとする。 点P,Qの座標をそれぞれか.qpq)とする。
軸に平行であることを示せ
①RP
