√3 は無理数であることを, 背理法を用いて証明する。 A
「√3 は無理数ではない、つまり有理数である」と仮定すると,A
√3 =
m
(mnは1以外の正の公約数をもたない自然数) とおける。 B
これより、
✓ 有理数であることを式で表せた
n=√3m
この両辺を2乗して.
n2=3m²
・・・・・ ① C✓ 2乗の形をつくれた |
よって, nは3の倍数となるから, nも3の倍数となる。
✓ nが3の倍数とわかった
そこで, n=3k (は自然数) とおくと、①より,
(3k)2=3m²
つまり,m²=3k2となるから, mも3の倍数となる。 mが3の倍数とわかった
すると,m, nともに3の倍数となり,m, nが1以外の正の公約数をもた
ない自然数であることに矛盾する。 B矛盾を指摘できた
よって, 3 は無理数である。 A 結論を示せた
(証明終わり