Question

なごみ

この問題のような、立体の塗り分けの問題が、回したり考えることが多くてすごく苦手です。考え方のコツや手順などがあったら教えて頂きたいです！

必解 73.
nを自然数とする。n色の異なる色を用意し,そのうちの何色かを使って正多面体の面
を塗り分ける方法を考える。つまり、1つの面には1色を塗り,辺をはさんで隣り合う
面どうしは異なる色となるように塗る。 ただし, 正多面体を回転させて一致する塗り分
け方どうしは区別しない。
(1)正四面体の面を用意した色で塗り分ける。
少なくとも何色必要か。
イ n≧4 とする。 この方法は何通りあるか。
(2) 正六面体 (立方体) の面を用意した色で塗り分ける。
少なくとも何色必要か。
イ n≧6 とする。 この方法は何通りあるか。
[21 滋賀医大 ]

73 〈正多面体の塗り分け>
(2)(イ) 底面の1色を固定して考える。 5色で塗り分けるとき, 底面と上面に同じ色を塗る
とすると, 側面は4色のじゅず順列になる。 6色で塗り分けるとき, 上面の塗り方は5通
りになり、側面は4色の円順列になる。
(1) (ア) 正四面体の1つの面は,他のすべての面と辺をはさんで隣り
合う面どうしであるから,他の面と同じ色を塗ることができない。
したがって, 正四面体に色を塗るためには, 少なくとも4色必要
である。
(イ)(ア)から,正四面体を塗り分ける色の数は4色のみである。
C通り
4色の選び方は
底面に1色を固定すると側面は3色を塗り分ける円順列になる。
よって、色の塗り方は
nCa・(3-1)!=
n(n-1)(n-2) (n-3)
12
(通り)
よって、色の塗り方は
C4x6=
-n(n-1)(n-2)(n-3)
4
[3] 5色で塗り分けるとき
5色の選び方は C5 通り
(通り)
1つの色を正六面体の3つ以上の面に塗ることはないから,5
色のうち2つの面に塗る色は1色ある。
ゆえに、2つの面に塗る1色の選び方は
5通り
ここで, 2つの面に塗る1色に塗られた面を底面に固定すると,
それと向かい合う面も同じ色に塗られる。
このとき、側面は4色を塗り分けるじゅず順列になる。
よって、色の塗り方は
Csx5x
(4-1)!_n(n-1) (n-2)(n-3)(n-4)
8
(通り)
底面と上面が同じ色のとき
底面を上面にひっくり返す
回転で一致する塗り方は
一視される。
バッた。
(2) (ア) 正六面体の1つの面には,辺をはさんで隣り合わない面がた
だ1つ存在する。
よって、正六面体には,ある面と,その面と辺をはさんで隣り合
わない面との組合せが3組できる。
ある面と,その面と辺をはさんで隣り合わない面には同じ色を塗
ることができるから, 正六面体を塗り分けるには少なくとも3色
必要である。
(イ)(ア)から,正六面体には3色 4色, 5色, 6色で塗り分ける場合
がある。
[1] 3色で塗り分けるとき
C3通り
3色の選び方は
底面に1色を固定すると,それと向かい合う面も同じ色となり、
側面は2色の色分けとなるが, どのように塗り分けても,底面
を軸に側面を回転すると塗り分け方は一致するから、色の塗り
方は1通りに定まる。
よって、色の塗り方は
nC3=
n(n-1)(n-2) (通り)
6
[2] 4色で塗り分けるとき
4色の選び方は
通り
まず、色の選び方を決める。
底面と上面の2色を決める
と、底面を軸とした回転で
一致する塗り方は同一視さ
れる。
[4] 6色で塗り分けるとき
6色の選び方は nC6 通り
底面を1つの色で固定すると向かいの面は5通り,
側面は4色の円順列になる。
よって、色の塗り方は
nC6×5×(4-1)!
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) (n-5) (通り)
24
[1] ~ [4] から, 求める色の塗り方は
n(n-1)(n-2)+n(n-1)(n-2)(n-3)
6
+
4
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
+
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)
24
n(n-1)(n-2)
{4+6(n-3)+3(n-3) (n-4)
24
+(n-3)(n-4)(n-5))
n(n-1)(n-2) (n³-9n2+32n-38) (通り)
24
1つの色を正六面体の3つ以上の面に塗ることはないから, 4
色のうち2つの面に塗る色は2色ある。
4C2=6(通り)
ゆえに、2つの面に塗る2色の選び方は
ここで、2つの面に塗る1色に塗られた面を底面に固定すると,
それと向かい合う面も同じ色となり、側面のうち2つの面に塗
る色が1色あるから、残りの2色は側面の互いに向かい合う面
に塗られる。
ゆえに、残りの2色はどのように塗り分けても,底面を軸に側
面を回転すると塗り分け方は一致するから、残りの2色の塗ら
れ方は1通りに定まる。
6-(0
74 <最短経路の数>
(1)面 ABCD 上を点Aから点Cへ行き, 辺CGを点Cから点Gへ行く道筋である。
(2)2つの面 ABCD, BFGC上を行く道筋である。
(3)(辺BC を通る道筋) + (辺CD を通る道筋)-(点Cを通る道筋) を計算すればよい。
(4) 点Aから点Gへ最短で行くときに横切らなければならない辺の数と,そのとき重複し
ている頂点の数を考える。
(1)点Cを通る最短の道筋は,面ABCD 上を点Aから点Cへ行き,
辺CGを点Cから点Gへ行く道筋であるから
8!
-×1=70(通り)
4!4!
◆点Aから点Cまでの道筋は、
→4個と14個の順列と考
える。
数学重要問題集 (理系)
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