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例題 B1.29 群数列(2)
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2の累乗を分母とする既約分数を次のように並べた数列について,
1
1
3
2'4'4'8'8
5
13
3
71
5
15
......
8'8'
161604032
(1) 分母が2" となっている項の和を求めよ.xx
(2) 初項から第1000項までの和を求めよ。 手大)
考え方 分数の数列は、分母と分子に着目する. この数列では同じ分母で1つにまとめる
(2, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16,
4個 いとか考える。S-8個目番
1個 2個
となっている.つまり, 分母が同じ数である項をひとつの群と考えると、第群には、
分母が 2" の分数が 2"-1個あることがわかる.さらに,分子に着目すると、
(7) 11, 31, 3, 5, 71, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
となっている
解答
(1) 分母が2である分数をまとめて第ん群とする数
列を考えると,
)
200
となり、分母が 2" の分数は 27-1個あり
11 31357 3 5 15 | 1
2 4'4 8'8'8'8 16'16'16'
S1
TOS
16 32'
1個あり、分子は初
項1, 公差2の等差数列になっているから、その和
は,
等差数列の和
n(a+e)
S
を利用
2
どうやって出てきた
2n
2"=2"-25
(2) 各群の項数は, 1, 2, 4, 8, 16, ・・よりは、
1-(2-1)
第n群までの項数の和は、
2-1
1+3+5+・・・ +(2.2"-1-1)22-2
分子 1+3+5+......
ので、第1
+(2·2-1-1)
2"-1 (1+2・2"-
'-1)
2
=2"-11022-2
第1000項が第何群に入
どうやって出す?
2°-1=511, 2-1=1023 より 第1000項は第
10群の第489項なので,求める和は第9群までの
和と第10群の第489項までの和となる
-2
3
9770+
っているかをまず調べる。
1
22-2は初項 公比
224+ (2+2+1+20001027
2の等比数列の初項から
第9項までの和
よって,
k=1
びじゃないのに
1 (29-1)
F どうやって計算?
11
+
.489.(1+977)
2-1
2102
511 4892
500753
より 初項 1.末項 977,
= ++
2 1024 1024
2月1
Focus
分数の群数列は分母, 分子に着目して見抜く
1+3+...... +977 は,
項数 489 等差数列の和
**)
ついて、