(5) 点(2, -2)を通り, 直線y=-4x-3 とy軸上で交わる直線

アイ AABCにおいて, AB=6, BC=14, CA=10 とする。このとき, cos ZBAC= ウ エ sin ZBAC=V オ である。 よって, AABCの面積は「カキ ク ケコ , △ABCの外接円 0 の半径は、 サ である。 シ 外接円0の,点Aを含まない孤 BC上で点Pを動かす。 このとき, ZBPC=| スセ「であるから, APBCの面積が最大となるのは PB=ソタ のときである。

1B =(1, 1), 万=(1, 7) とするとき, āと石のなす角を2等分す るベクトルのうち,大きさが10 のベクトルūを求めよ。

重要例題3 不等式の整数解 1 1 13 不等式 xーくを満たす整数xはア 個ある。 3 3 また,a>0 のとき, 不等式x-<aを満たす整数xが5個であるようなa 3 イ の値の範囲は <as オ である。 ウ POINT! 不等式の解 数直線上で考える。 -号から -くューく 13 13 1 13 x *|X<A→ -A<X<A 3 3 3 →基4 各辺に を加えて 14 -4<xくう 3 これを満たす整数xは -3, -2, -1,0. 1. 2, 3. 4 の ア8個←-4は含まないことに注意。 また,メー<aから -α<x- 1 <aから -a<x- 3 3 1 を加えて 3 1 +-a+くさくa+るとし 各辺に ーa 3 ta 3 これを満たす整数xが5個であ るのは,右の数直線のようになる ときである。 ないのがポイント。 a 1 3 こを中心に両側にaずつ -37-2-1 0i 2/3 * 1 3 1 +a 3 のびている。一は0と1 -a 1 よって-3ハー く-2 · ① 3 の間にあり,0に近いから, かつ 2< +aS3 3 1 この左側に3つっ(0, -1, 3 のから -3--=-a<-2-- -2), 右側に2つ(1, 2) 整数を含むことになる。 ゆえに<as から 2-号くas3-号 ゆえに 号くas 7 10 3 3 3 の 3 イ7 くas。 エ8 <aS オ3 ③かつのから ウ3 TCHART 8 7 3 3 10 x 3 数直線を利用 →基4 練習 3 2つの不等式 |x-1一62 (1) 不等式0の解はアイ]Sx<ウである。 (2) 0, 2をともに満たす実数xが存在するようなkの値の範囲はん<|Iである。 (3) 0を満たす実数xが, すべて2②を満たすようなんの値の範囲は た<[オカであ kを実数の定数とする。 の, 5x+3k>2(x+2k+1) のがある。 る。 も海当なものな (4) 0, 2をともに満たす整数xがちょうど2個存在するようなkの値の範囲は キ]Sk<クである。 |数と式、集合と命題

練習66 例題66 の不等式を用いて, 次の不等式を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなと きか。 (1) α°+6°+c? = 1, x°+y°+ =1 のとき -1S ax+ by+cz S1 (2) a+b+c=1 のとき 1 d'+が+°2- 3 a, b, c, x, y, zは実数であるから, コーシー·シュワルツの不等式 …0 が成り立つ。 (1) α++c%=D 1, x°+y°+=1 であるから 12(ax + by+cz) -1S ax+ by + cz $1 のは HA<1のとき A°-1S0 (A+1)(A-1)ハ0より よって …2 これは ay = bx かつ az = cx かつ bz = cy のとき等号成立。 1SAS1 (2) 0において, x= 1, y= 1, z =1 とすると よって a+b+c=1 であるから 3(°++c°)z1 1 ゆえに 小 3 3 すなわち a=b=c であ り,これを a+6+c=1 に代入する。 これは,a=6, a=c, b=c であり,a+6+c=1 1 すなわち, a=6=c= ; のとき等号成立。 3

入ニー 5) 3つの直線=-+4, x+3y= 11, y=ax-1 が三角形を作らないような定数aの値をすべて求めなさい。 38

例題 35 同じものを含む順列 目安15分 9個の文字 A, A, B, B, B, C, C, C, Cを1列に並べるものとする。 (1) 異なる並べ方の総数は [アイウエである。 (2) Aが連続して並ぶ並べ方はオカキ通りである。 (3) Cが2個以上連続して並ばない並べ方のうち,先頭がCである並べ方は [クケコ通りである。 (4) Cが2個以上連続して並ばない並べ方は[サシス|通りである。

演習問題 5 回右の図で、 直線①はy=2x+8, 直線2は 1右の図について, 次の問いに答えなさい。 (1)2直線の, ②の直線の式をそれぞれ求めなさい。 y (1)点Aの座標を求めなさい。 の O4= すスー」 の4=-2x+2 (2) 2直線の, ②の交点Pの座標を求めなさい。 (2) A ABC の面積を求めなさい。 -2メ+2 =x- -||エ=-9 -2x-マ= - 一-2 -マ書エニー3 2次の問いに答えなさい。一メ=ー3 3 (3) △ABD の面積を求めなさい。 2 (1) 2直線y=3x+aとy=bx+2の交点の座標が(ー3, 4)のとき, a, bの値を求めなさい。 (4)点Aを通り, △ABCの面 4=ロ+9 4=-3b+2 9+a=4 aニー5 -3b+2=4 ー3b = 2 b= a=ー5 b=-3 (5) y軸上に点Pをとる。 (2) 2直線y=2x+4と y=- ェ+aがx軸上で交わるとき, aの値を求めなさい。 0=2x+4 0= - 2x +4=0 0=|+a |+a=0 aこ-1 2ズニー4 C=-2 a=- 4 右の図で, 直線 (3) グラフが点(1, -3)を通り, 直線 2x+3y= 10 とx軸上で交わる直線の式を求めなさい。 との交点をそ 34ニ-22+I0 (5,0) 4a=9 0=5x+b 4=-号エ+9 0=-号文 (1) aの値を求め a=3 4 0= 5a1b 0= 4 15 - b= 4 10 3 -2-3= a+b 3 15 2 16 A. y=最x一 3 3 3=4a 4 X=5 b=-5 (2) △ PQR 2x=10