す。すべて加えたあと、水を加えて 10 mL に合わせる。 24 2) 6.次の文を読み、以下の各問いに答えよ。 40 NaoH (1) 16 %の砂糖水 225gに水を加えて、9.0%の砂糖水にした。加えた水の質量は何gか。 整数値で答えよ。 195 この水添 流のエル。
(1) あるエンジンを一定温度に保つために,毎分10 リットルの水で冷却 している。入口の水温を20℃,出口での水温を40 ℃としたとき, エン ジンの放熱量は,( A ) KWである。ただし水の比熱は4.185 kJ/(kg K)とする。( A ) にあてはまる数値を有効数字3桁で答えなさい。
(1) あるエンジンを一定温度に保つために,毎分10 リットルの水で冷却 している。入口の水温を20℃,出口での水温を40 ℃としたとき, エン ジンの放熱量は,( A ) KWである。ただし水の比熱は4.185 kJ/(kg K)とする。( A ) にあてはまる数値を有効数字3桁で答えなさい。
xenal 2ntl Lom 2h-1 2 1スト x2n-1 nto 2ht」 ー4て
解 BがAの位置につくる磁場の強さは Hg=" r [m] 離れた十分長い2本の直線導線に電流I、 [A), Is[A]が逆向きに流れている。 A, Bそれぞ よび向きを求めよ。 透磁率を μ (N/A®] とする。 れの長さ1[m]の部分が受ける力の大きさ [N] IV 電流と磁場 93 EX A B I、 I。 I。 2元Y A B u,I,l Aが受ける力はF=I,"μHg1=D 2元r H。 I L 2元r F, & H。 同様に HA= 2元r Fa=I"uH。1= uI,I,l 14年 FA=Fとなるのは作用·反作用からも理解できる。 せきりょく トク 平行電流:同方向は引力, 逆方向は斥力 (反発力) これは直線電流でなくても使える。 たとえばソレノイドに電流を流す と1つ1つのリングは同方向の電流だからソレノイドは縮もうとする。 てと
→6Sは21人ト。1+r+r+s+rs=r's より, 考え方 p,qは素数より,pqの正の約数の和は, (1+p)(1+q)=D1+p+q+pq (b.418 参照)で 整数の性質 436 第8章 nを除く nの正の約数の和 (完全数) Co 例 題 244 とき,次の間いに答えよ。 (1) S(pq)=Dpq を満たす素数p, q (か<q) を求めよ。 (2) S(r's)=r's を満たす素数r, s(r<s) を求めよ。 あるが、S(bg)は 加を除いた約数の和であるから, S(pq)=1+p+q となる (1) か, qは素数より,pq以外の paの正の約数の和は, (1+p)(1+q)-pq=1+p+q したがって, S(pg)=D pq のとき,1+p+q=pq より, pg-p-q=1 (カ-1)(q-1)=2 ここで,p, qは素数で, 2<p<qであるから, p-1, q-1も整数で, したがって,①を満たすのは, よって, 解答 p.418 参照 この式変形は p.470 P<4だかけ 参照 1Sp-1<q-1 P-1-1 4--2 p-1=1, q-1=2 このとき,q==6 p=2, q=3 (メ2ニ2)(2) r, sは素数より, r's以外のr'sの正の約数の和は, したがって,S(r's)=r's のとき, sについて整理 p+x+1=(rパーァー1)s … ここで,r, sは素数で, 2<r<s であるから, また,r22 より,ァ-121 であるから, -r-1=r(rー1)-122×1-1=1>0 したがって,①より, これを整理すると, この不等式を解いて rは素数であるから, のにア=2 を代入して, S23 連と。 (20倍2 やトちっわゃ切とき。 +r+123(ーrー1) ye-2r-2<0 1-/3Srs1+/3 ア=2 きなな さをえの|1-V3=-0.732…… S=7 Sれをやることで /3 =1.732……より, ニー これは r<s を満たす。 よって, てな処ら。11+/3=D2.732… 条 なe r=2, s=7 豪数つ毎令との290 。このとき, 's=28 カうーム まう。 注》2以上の自然数nに対して、 nを除くnの正の約数の和 S(n)が、nに等しい自然数n を完全数という(例題で求めた6や28は完全数である). また, S(n) について, S(n)=n が成り立つとき, この両辺にnを加えると, S(n)+n=2n となる.この S(n)+nは自然数nの正の約数の総和であるから, 「2以 上の自然数nについて, nの正の約数の総和をT(n)とすると,T(n)=2n が成り立つ とき、nは完全数」 としてもよい. mm wM ww w M w w m LTどはししかない M w 練習 2以上の自然数nについて, nの正の約数の和をT(n)とする. 244 n=2"-1(2"-1) (mは2以上の自然数)として, 2"-1 が素数であるとき, T(n)=2n が成り立つことを、1+2+ +2"m11_2m, -1であることを用いて
考え方 p,qは素数より,pq の正の約数の和は, (1+か)(1+q)=1+p+q+pq (b.418参照)で 436 第8章 整数の性質 nを除く nの正の約数の和 (完全数) 例 題 244 2以上の自然数nについて, nを除くnの正の約数の和を S(n) とすっ とき,次の問いに答えよ。 (1) S(pq)=D pq を満たす素数p, q(か<q) を求めよ。 (2) S(r's)=r's を満たす素数r, s (r<s) を求めよ。 Column 「い ここ I.5 あるが、S(pg) は 加を除いた約数の和であるから, S(pq)=1+か+qとなる そ (1)か,qは素数より, pa以外の pqの正の約数の和は, p4pi (1+p)(1+q)-加=1+カ+q 解答 (例) p.418 参照 (確 したがって, S(pq)=D pq のとき,1+p+q= qより, pg-p-q=1 (カ-1)(q-1)=D2 ① ここで,p, qは素数で, 2<かくqであるから, p-1, q-1も整数で, したがって,①を満たすのは, よって, (2) r, sは素数より, 's以外のr'sの正の約数の和は, P<4 だから。 この式変形は p.470 参照 P-1-1 4-ド-2 (2-2 1Sp-1<q-1 p-1=1, q-1=2 p=2, q=3 このとき,加=6 承然の最んはこ! したがって,S(r's)=r's のとき, y+x+13(rパーァー1)s ① ここで,r, sは素数で, 2<r<s であるから, また,r22 より,ァー121 であるから, p-r-1=r(r-1)-122×1-1=1>0 したがって,①より, これを整理すると, この不等式を解いて rは素数であるから, のにア=2 を代入して, これは r<s を満たす。 よって, sについて整理 S23 代んちっ方ゃのとき。 (20倍数 petr+123(デーァー1) y-2r-2<0 1-/3Srs1+V3 も Sれをやることで 修田を 「子。 3 =1.732……より、 1-/3=-0.732… s条欲なら。1+/3 =2.732…… r=2 S=7 r=2, s=7 数→色分と1の29 このとき、's=28 くらすうーム 主う。 注》2以上の自然数nに対して、nを除くnの正の約数の和 S(n)が、nに等しい自然数n を完全数という(例題で求めた6や 28は完全数である). また, S(n) について, S(n)=n が成り立つとき, この両辺にnを加えると, S(n)+n=2n となる.このS(n)+nは自然数nの正の約数の総和であるから, 「2以 上の自然数nについて, nの正の約数の総和をT(n)とすると,T(n)=2n が成り立つ とき、nは完全数」としてもよい。 ww m ww ww m Tどはししかない M 練習 2以上の自然数nについて, nの正の約数の和をT(n) とする。 244 n=2"-1(2"-1) (mは2以上の自然数)として, 2"-1が素数であるとき, T(n)=2n が成り立つことを, 1+2+… +2"-!=2m-1 であることを用いて 証明せよ。 |ト
