教 p.51 問8 90 点Pは,数直線上の原点Oから出発し, さい ころの出る目が3以上ならば+3だけ, 2以 下ならば -2 だけ動く。さいころを5回投げ て, Pがちょうど次の点にくる確率を求めよ。 B A -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 12 3456 x (1) 点A
B1D42212+1)
*83 点P(xo, ) と, 直線:ax+by+c=0 について、 () 点Pから直線しに垂直に引いた直線と直線 次の問いに答えよ。 との交点をH(xi, )とし、 カー (a, 6)と =(a,b) P(K, y) すると (Hx, y) 0 X であることを示せ。 )()より,点Pと直線の距離が、次の式で表されることを示せ。 lax,+bs+c =P Va+が トヒント 83 (1) n=(a, b) は直線(の法線ベクトルである。 (2) 線分HPの長さが、 点Pと直線/の距離である。 したがって、(1)より dー --HP
生物基礎 A 遷移のモデル的進行では,草原,低木林を経て, 陽樹が占める森林ができ, 最 S的には陰樹が優占する極相林が成立すると考えられる。しかし,実際の相生 一形響される。山火事や森林伐採などで森林が大きく破壊された場合の植生彦修タ ーは,保地- 荒原からはじまる植生遷移より進行が速いなどの特待徴がみられるか このような場合にも,環境条件の違いや人間活動に影響される。 図1は,日本のある地域の海岸に人工的につくられたクロマツ海岸林のよっす を示している。この海岸では,西からの強い季節風と平行になる方向に人工的な 砂丘をつくり,クロマツを植林しているが、マツ枯れや管理放棄の後,広葉樹へ の植生送移が進行していることが、調査の結果わかっている。図2は,この海母斥 体について,クロマツが20%以上を占める植生(クロマツ混在タイプ)と 20%未 満である植生(広葉樹優占タイプ)が占める面積の変化を示している。 海岸林 N 道路 川 500 m 海 図 1 Z
-24. ④ : there 構文, isn't there? 92 不宇系月立とその答え方 or
単振り子の周期 重力加速度gを求める方法 教 p.78 ~ が に と。書 ※ YouTube 動画『エクスペリメンツ~ガリレオ· 振り子の等時性~』5分 軽い糸の上端を固定し, 下端におもりを吊して,鉛直平面内で左右に振 らせたものを単振り子という。(右図) おもりの最下点Oから円周に沿った変位を右向きを正としてxとする。 のおもりを最下点Oに向かって引き戻す力は を してい るとみ世書。 F= ※変位xとは逆向き の振り子の振れの角度@が小さければ, sin 8 号0= ※右図で弧の長さとxがほぼ等しいとする。 のおもりを最下点Oに向かって引き戻す力は F= と書けるので,おもりの加速度は a= ここで,単振動 (円運動の影の動き)の加速度は . と書けることを思い出すと, 単振動の角振動数 (円運動の角速度のに対応)が求められる。 よって,単振り子の周期 T3 ※ガリレオはピサの大聖堂で揺れるシャンデリア (一説には番戸の揺れ)を見て, 撮子の等時性 (大きく揺れているとき も,小さく揺れているときも, 往復にかかる時間は同じ) を発見したと言われている。
(1) nを2以上の自然数とするとき,x"-1を(x-1)?で割ったときの余りを求 【学習院大) めよ。 S+ 8-301-2- (2) 3x100+2x°7 +1 をx°+1で割ったときの余りを求めよ。 .97 基本 53,54 指針>実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。.88~90 でも学習したように, の 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用 303() ……… 体 (x)0 S R の次数に注意,B=0 を考える がポイント。 (1),(2) ともに割る式は2次式であるから, 余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1を代入することは思いつくが,それだけでは足りない。 そこで,次の恒等式を利用する。ただし, nは2以上の自然数,α'=1, 6=1 a"-6=(a-b)(a"-1+a"-"bta"-'6°+……+ab"-2+6"-1) (2) x°+1=0 の解は x=±i. x3i を割り算の等式に代入して, 複素数の相等条件) A, Bが実数のときA+Bi=0→ A=0, B=0 土(x)を利用。 解答 (1) x"-1を(x-1)で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b即解(1)二項定理の利用。 x"-13{(x-1)+1}"-1 =C,(x-1)"+…+Ca(x-1)? とすると,次の等式が成り立つ。 xm-13(x-1)°Q(x) +ax+b6 …… ① ス十ス) 0=a+b すなわち 6=-a 両辺にx=1を代入すると のに代入して =(x-1){(x-1)2+…+.C} x"-1=(x-1)Q(x)+ax-a +nx-n FV2は =(x-1){(x-1)Q(x)+a} -選因念 ゆえに,余りは nx-n また,(x-a)°の割り算は微 分法(第6章)を利用するのも 有効である(p.305 重要例題 194など)。微分法を学習す る時期になったら,ぜひ参照 してほしい。 ここで,x"-1=(x-1)(x"-1+x"-2+ +1)であるから xn-1+x"-2+ +13(x-1)Q(x)+a+x この式の両辺にx=1を代入すると n個 よって b=-aであるから 6=-n a=n 10-15 mえに 求める余りは nx-n
