問5 右の図1のように, 正方形ABCDを底面とし, の AE=BF=CG=DHを高さとする立方体がある。 図1 H 問 G E F また,図2のように, 袋Pと袋Qがあり,その グカ交 中にはそれぞれ B, C, D, E, F, Gの文字が1つ ずつ書かれた6枚のカードが入っている。 袋Pと袋 D C Qからそれぞれ1枚ずつカードを取り出し, 次の 【ルール】にしたがって, 図1の立方体の8個の頂 点のうちから2個の点を選ぶ。 A B 図2 の 袋P=30: A袋Q 【ルール) ·袋Pと袋Qから取り出したカードに書かれた 文字が異なる場合は, それぞれの文字に対応す B||C||D B C る点を2個の点として選ぶ。 袋Pと袋Qから取り出したカードに書かれた E F E G 文字が同じ場合は, その文字に対応する点およ び点Hを2個の点として選ぶ。 いま,図2の状態で, 袋Pと袋Qからそれぞれ1枚ずつカードを取り出すとき, 次の問いに答えな さい。ただし, 袋Pと袋Qそれぞれについて, 袋の中からどのカードが取り出されることも同様に確 からしいものとする。 (ア) 選んだ2個の点が, ともに平面 ABCD上の点となる確率として正しいものを次の1~6の中から 1つ選び,その番号を答えなさい。 1 1. 36 1 2. 18 12 5 5. 36 1 6. 4. 1_6円 m イ) 選んだ2個の点および点Aの3点を結んでできる三角形について, その3つの辺の長さがすべて異 なる確率を求めなさい。
この場合は,0のときと 2,4のときに分けて考えるとよい。 (1) 0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る。 (2) 0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る (ウ) 3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数のときである。(p.419参照) 336 第6章 場台 2 順 Check 列 337 (i) 一の位が2, 4のとき 百の位は0と一の位の数以外の4通り 十の位は百の位と一の位の数以外の4通り したがって、 よって,(i), (i)より,偶数は、 例題 185 整数を作る問題(1) このとき,次の数の個数を求めよ. 次異なる整数 百の位が0以外にな ることに注意する。 A2 偶数 (ウ) 3の倍数 4×4×2=32(通り) 20+32=52(個) ()3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数 のときである。 和が3の倍数になる3つの数の組は、 (0, 1, 2}, {0, 1, 5}, {0, 2, 4), {0, 4, 5), (1, 2, 3}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4), {3, 4, 5} である。 {0, 1, 2} は,102, 120, 201, 210 の4通り {0, 1, 5}, {0, 2, 4), {0, 4, 5} も同様に4通り したがって, 4×4=16 (通り) {1,2, 3} は,123, 132, 213, 231, 312, 321 の とき,異なる整数の和はいくつになるか。 考え方(1) (7) 0を含む6つの数字から3桁の整数を作る ときは,百の位は0にならないことに注意 く3桁の数) (2桁の数 百 十 ■ロロ Lo以外 百 + (イ) 偶数になるのは, 一の位が, 偶数,つまり、 0, 2, 4の場合である。 する。 0ロロ 百の位が0以外にな ることに注意する. 百,十,一の位の数を a, b, cとすると, 100a+106+c=3×33a+a+3×36+b+c 6通り {1, 3, 5}, (2, 3, 4), {3, 4, 5} も同様に6通り したがって, よって, =3(33a+36)+(a+b+c) より, 6×4=24(通り) 16+24=40(個) 3の倍数になるのは, a+b+cが3の倍数のときである。 (2) 百の位が1となる3桁の整数 は,右のように20個ある。 このとき,各位で, 0~5の 数がいくつ使われているか考 えるとよい。 3桁の整数は 百|十 百 百|+ 1|5 (2) 百の位には1~5の数字が各 20回ずつ現れる。 十の位には, 0の数字が合計20回, 1~5の数字が各 16回 1 0 1 3 0 百の位が1の場合, 十の位に0が現れる のは4回,残りの2 ~5も同様。 0 2 2 4 4 ずつ現れる。 ーの位も十の位と同様である。 したがって, (1+2+3+4+5)×20×100 百の位 +(1+2+3+4+5)×16×10 十の位 +(1+2+3+4+5)×16×1 の位 =(1+2+3+4+5)×(2000+160+16) =15×2176=32640 よって,求める和は, 32640 33 5 5 4 | 20個 2 0 4 0 100a+106+c で表されるこ とに注意する。 第6章 0は省略している。 3 2 m 4 3 M 5 5 解答(1)(ア) 百の位は0以外の数なので, まず, 0以外の数で 百の位を考える。 5通り 残りの位は,百の位の数以外の5個から2個 取り出して並べればよいので, sP2=5×4=20(通り) よって,求める3桁の数は, 十, 一の位は0も入 れて考える。 Focus n個からr個を取る順列の総数は,P, 通り n桁の整数 =→最高位は0以外の数となる 5×20=100(個) |5×P2 (イ) 偶数は, 一の位が0のときと一の位が2,4のと きに分けて考える。 (i)一の位が0のとき 残りの位は, 0以外の5個から2個取り出 して並べればよいので, sP2=5×4=20(通り) 0, 1, 2, 3, 4, 5から作られる3桁の自然数について, 次のような数の個数また 練習 100 は和を求めよ、ただし、同じ数字は1度しか使わないこととする。 185 /(3))奇数の和 (2) 5の倍数の個数 9 (1) 奇数の個数 →p.345DD 1 LO 23
鏡1 300 A 60° 60 30. 光源装置 B: 301 Zエ S 0 鏡:2 1の中文 チ 56-6 C 鏡3
開4 右の図において,直線①は関数y= -cのグ ラフであり,曲線②は関数y=ar のグラフで OO c/ A B ある。 点Aは直線のと曲線②との交点で, そのα座 標は-5である。点Bは曲線②上の点で, 線分 ABはx軸に平行である。点Cは線分 AB上の F 点で,AC:CB=2:1である。 0 また,原点を0とするとき, 点Dは直線①上 の点でAO:OD=5:3であり,そのα座標は E 正である。 さらに,点Eは点Dと」軸について対称な点 e である。 このとき,次の問いに答えなさい。 人 ば 出 す (ア) 曲線のの式y= ax° の aの値として正しいものを次の1~6の中から1つ選び, その番号を答えなさ い。 で 1 2. a=- ー3. a=ー 5 出 1. ー=カ _2 1 30こ 6. a=2 4. a=寺 11 5. a= そ 合o ()直線CEの式をy=mz+nとするときの(i) mの値と, (i) n の値として正しいものを,それぞれ? の1~6の中から1つ選び,その番号を答えなさい。 ko (i) m の値 8 3 2. m= 2 人 7 m = 3. m= 5 1. 12 m= 24 M= 13 27 6. m= 14 5.m 4. さこを こる出 (i) n の値 3 3. n= 2 2. n= 6 n= 1. 15 6. n= 7 5. n= 23 4. n= 14 上rの 25 9|7 9-5
0数列an}の初項から第n項までの和Snが次のとき、 数列/an}の一般項を求めよ。 OSn=2n?-3n 2Sn=3"-1 2次の計算をせよ。 n の-3k) k-1 n 3k-1 (2)>2 22% 3次の漸化式で定められる数列(an}の一般項を求めよ。 ①ai=1, an+1= an+2(n=1,2,3.) 2a1-3, a n+1=-2an(n=1,2,3 ) 3a1-1, an+1- an=-2(n=1,2,3 ) ④α1=2, an+1=2 an(n=1,2,3 …)
d ) odhigosd ライティング ●以下の TOPIC について, あなたの意見とその理由を2つ書きなさい。 POINTS は理由を書く際の参考となる観点を示したものです。ただし,これら 以外の観点から理由を書いてもかまいません。 ●語数の目安は 80 語~100 語です。 ●解答は,解答用紙のB面にあるライティング解答欄に書きなさい。なお,解答 欄の外に書かれたものは採点されません。 解答が TOPIC に示された問いの答えになっていない場合や, TOPIC からずれ ていると判断された場合は,0点と採点されることがあります。TOPIC の内容 other をよく読んでから答えてください。 fore lnsib2 4 hun TOPIC People around the world live longer lives than they did in the past. Do you think people will live even longer lives in the future? The Porcent wcre aquong wan an bluow ti ueuu inow b POINTS 1 1ah b OAOW oy ● Changing lifestyles ● Developing countries ● Technology tow They amo 76.38 d roy Too 20THO) ho
4. 右の図のような四角形 ABCD において, 2 D つの対角線の長さが a, bで, そのなす角 A 0 が0であるとき, 四角形 ABCD の面積は ;absin0 であることを示せ。 B C
5. △ABCの面積を S, 外接円の半径をRとするとき, 次の等式が成り立 つことを証明せよ。 0 (1) S=2R'sinAsinBsinC (2) S=- 4R abc
