和Snと一般項αの関係(②2)
例題281
初項から第n項までの和がn² である数列において, 第1項、 第3項,第
と順番に1つおきにとって新たに定められた数列の第n項を求
5項
もとの数列{an},求める数列を {bn} とすると,2つの数列
の関係は次のようになる.
{an} a1,a2,a3, A4, as,
...・・・・
b2,
Focus
b3,
an=Sn-Sn-1
azn-2, azn-1, azn,
{0} 61,
n 18
つまり, {bn}の第n項は, {an}の第(2n-1) 項になるので,まず, {an}の一般項を求め
て,それを使い, {an} の第 (2n-1) 項を求めればよい.
最初に与えられた数列を {an} とし,初項から第n項まで
の和をS" とすると, Sn=n²
n≧2のとき,
=n²-(n-1)²=2n-1 ...... ①
2 いろいろな数列
bn,
また, α=S=12=1
これは, ① で n=1 としたときの値と等しい.
したがって, 一般項an は,
求める数列{bn} とすると,{bn}は,
an=2n-1
a1, A3, as, ......, a2n-1,
となり, {bn}の第n項は, {an}の第 (2n-1) 項となる.
よって,
bn=azn-1=2(2n-1)-1
=4n-3
n≧2のとき, an=Sn-Sn-1
n=1のとき, a=Si
例題281の数列{an}, {bn} を実際に書くと,
{an}:1,3,5,7, 9, 11, 13, ..
***
{6}:1,
5,
9,
13.
より,{bn} は初項1. 公差 4 の等差数列となっている。
このことより,b=1+(n-1)･4=4n-3 と考えることもできる.
an=Sn-Sn-1
α を求める.
n=1のとき, ① は,
21-1=1
(1)
a1, a3, as,
の第n項は α2n-1
より, bn=a2-1
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練習 初項から第n項までの和が4" である数列において, 第1項,第3項,第5項,
と順番に1つおきにとって新たに定められた数列の第n項 (n≧2) を求め
(中部大)
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