第1節 不定積分
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置換積分法
F(x) f(x)の原始関数とする。 x がtの関数として x=g(t) と
表されるとき,y=F(x)=F(g(t)) は tの関数でもある。
g(t) が微分可能であるとき
dy
dx
=F'(x)=f(x),
dy=dy.dx=f(x)g'(t)=f(g(t))g'(t)
dt dx dt
yを2通りの不定積分で表すと,次の置換積分法の公式が成り立つ。
置換積分法 (1)
1
f(x)dx=f(g(t))g'(t)dt
ただし, x=g(t)
x=g(t) のとき
dx
dt
=g' (t) である。
dx
=g' (t) を形式的に
dt
dx=g'(t) dt と書き表すと,上の公式1における式の変形が覚えやすい。
Sf(x)dx=Sf(g(t))g(t) dt
xをg(t), dx を g' (t) dt
におき換える。
不定積分 xvx + 1 dx を求めよ。
解答 √x+1=t とおくと x=f-1, dx=2tdt
fxvx+Idxf(1) 2t-2S(ピード)dt
=211号
+3
==
-263-5) +C=1/12(3-5)+C
2
ピ°(3t2-5)+C
- 1/3 (3x-2)(x+1)x+1+C
=
15
dx
=2t
dt
