座標平面上で,原点 (0,0), ( 2, 1), 点 (a, b) が正三角形の頂点となっているとす
る。このとき, (a, b)=1
である。 ただし, 点 (a, b)は第1象限にあるものとする。
解説
原点 (0,0), 点A(2, 1), 点 B (a, b) とする。
y'
△OAB が正三角形になるとき, OA=OBAB から
OA=OB=AB2
B(a, b).
ここで, OA2=2+125であるから
OBOA より a2+62=5
AB2=OA2 より (α-2)2+(0-1)2=5
A (2, 1)
①
1
... ②
①-② から
4a+26-5=0
2
x
5
すなわち
b=-2a+-
③
2
a²
整理すると 402-80+1=0 これを解いて
③①に代入すると a2+(-2+12/27)=5
03+402-100+2=5
=~
2 ± √√3 5α² - 100 + Σ=v
2
③より,a=2+2
2±√3
豆のとき 12/
a2-2a+1=v
b=
(複号同順)
2
2
>>0であるから
a:
2
a=2-√3 = 1+2√3
2
b=
したがって (a, b)=
b)-(2√31+2√3)
