基本 例題 257 曲線x=g(y) と軸の間の面積
次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(1) y=elogx, y = -1,y=2e, y 軸
(2)y=-cosx(0≦x≦z), y=1/28=-1
427
82
000
指針 まず, 曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。
解答
2y軸
p.424 基本事項 3
8
重要263
y
x=g(y)
d
S
常に
(1) y=elogx を xについて解きで積分するとよい。
......
・・xについての積分で面積を求めるよりも,計算がらくになる。
(2)と同じように考えても,高校数学の範囲ではy=-COSx を
x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。
なお,(1),(2) ともに別解のような、長方形の面積から引く方法
y
でもよい。
x=ar
C
(1) y=elogx から
y=10gax
x=ee
S=
g(y)≥0
s=gydy
(1) の別解 (長方形の面積か
y
YA
よっ
-e2.
x=
ら引く方法)
-1≤y≤2e T\ x>0(x) 2e
12e
1 よってS=Setdy=[ez]
(2)
=eeee1分5
①とする=e-e-2/
よび直線 y=x に関して対称である。
(2)y=-cosx から dy=sinxdx
-1
お
2e+1
y
よって
は 8.S である。[
S=xdy=
fxsinxdx
58
x
3
(051) 5
2
から
3
--xcosx}" + f2" cosxdx
X COS X
T
π
3
123
!e2
→
↑
1
S=e²(2e+1)
-S" (elogx+1)dx
=2e3+e²
-[e(xlogx-x)+x]
=e³-e¹-1
2 (2)の別解 (上と同じ方法)
S=(1+1)
-cosx+1)dx
2
→
π
3
1
inx-
3
y=-cost
3
1部分の
2.
S
233
2
π
2
3
-*+*+0-
3
6
π
2
2
+[sin x]
π
0
π
x
2
π
2
2
2 3"
8/3
