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数学 高校生

数2 微分 なぜ答えのようになるのかわかりません。 Bはゼロに近づくから、0になるのではないのですか?教えてくださると嬉しいです🙇

324 基本 例題 202 変化率 00000 (1)地上から真上に初速度 49m/s で投げ上げられた物体のt秒後の高さんは h=191-4.9P(m)で与えられる。この運動について次のものを求めよ し, vm/sは秒速vm を意味する。 (ア) 1秒後から2秒後までの平均の速さ (2) 10 cm (イ)2秒後の瞬間の速さ とき,球の体積の5秒後における変化率を求めよ。 ただ p. 314 基本 指針 (1)高さんは時刻tの関数と考えることができる。 h=f(t)=49t-4.9t2 とする。 (ア) 平均の速さとは,平均変化率と同じこと。 (んの変化量) (tの変化量) を計 算。 (イ)2秒後の瞬間の速さを求めるには 2秒後から2+6秒後までの平均の速さ 均変化率)を求め, 6 → 0 のときの極限値を求めればよい。 つまり、微分係数 f'(2) が t=2 における瞬間の速さである。 (2) まず, 体積Vを時刻tの関数で表す。 これをV=f(t) とすると, 5秒後の変化率 t=5 における微分係数 f' (5) である。 taから6まで変化す (1) (ア) (49.2-4.9.22)(49・1-4.9.12) 2-1 =34.3(m/s) 解答 (イ) t秒後の瞬間の速さはんの時刻 t に対する変化率 るときの関数f(t)の平 変化率は f(b)-fla dh b-a である。 hをtで微分すると =49-9.8t dh dt については,下の dt (1)-9 求める瞬間の速さは, t=2として 注意 参照。 '=49-9.8t 49-9.8・2=29.4(m/s)=p (2) t秒後の球の半径は (10+t) cm である。 と書いてもよいが, 3 t秒後の球の体積をVcm とするとV=1(10+t dV 4 V を tで微分して dt dv=7.3 ・3(10+t)2・1=4z(10+t) 求める変化率は,t=5として 4(10+5)=900(cm²/s) と書くと関数を 微分していることが式か ら伝わる。 { (ax+b)"}' =n(ax+b)"' (ax+b) 変数が x,y以外の文字で表されている場合にも, 導関数は今までと同様に取り扱う。例え dh d ば、関数=f(t) の導関数はf(t), dt' dt f(t) などで表す。また,この導関数を求め ることを,変数を明示してh を tで微分するということがある。

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数学 高校生

解説を読んでもなかなか理解できず困っています。 3つの青い線を引いた箇所がなぜそういう式変形になるのか教えて頂きたいです!回答よろしくお願いします!

例題 72 微分係数の利用 (1) **** 微分係数を利用して,次の極限値を求めよ. 199 解答 (1) lim ex-1 (1) lim 110 x を用いてよ sinx-sina (2) lim (aは0でない定数) x³-a³ 11a log(x+1) (3) lim x 0 tanx 考え方 関数f(x)のx=q における微分係数f(a)は, f'(a)=lim f(ath)-f(a) 914 または,f(a)=limf(x)-f(a) x-a xa である.この定義をどのように活用するか考える. (1) lim e-1は、②において、a=0 の場合と考えられるが, x exの2xに着目すると, 分母のxが2x であれば, 合 e2x-1 x 0 x lim2. e2x-eº x0 2x (2) lim xa =lim x a =lim x → a -=2・1=2 sinx-sina x³-a³ sinx-sina (xa)(x²+ax+α²) x2+ax+a2 1 Ea²+a+a sin x-sin a x-a cosa cos a 3a² A-m log(x+1) (3) lim 110 tanx 414 =lim 10 110 log(x+1)-log(0+1) x-0 tan x-tan0 x-0 e2-1 e2-e° lim =lim -=1 x 0 2x 018 2x 3 となりのx=0における微分係数として求めることができる. Focus (2) lim sinx-sina -は,f(x)=sinx のxaにおける微分係数として考えることが できれば,極限値を求めることができそうである。 分母に着目すると, x-a=(x-a)(x+ax+a^) と因数分解できる. (3) 分子は, log(x+1), 分母は, tanx であるので, このままでは(1),(2)のように考えることができない. そこで、分母と分子を分けて、それぞれで考えてみる。 分子は, _log(x+1)-log ( 0+1) lim- 110 x-0 とみることができる.log(0+1)=0) 練習 分母は, lim- 110 tan x-tan0 x-0 とみることができる. (tan0 = 0 ) ** ここで, log(x+1) のときもtanxのときも, 分母がx-0であることに注目する. ② f'(a)= limf(x)- 819 f'(a)=lim fla+ X- (2か所のは同じもので,ん 72 微分係数を利用して、次の極限値を求めよ。 (1) lim e-1 x → 0 sin x π

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