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例題29 不等式への応用
x>0 のとき, 不等式 x 2 ≧2alogx が成り立つような正の定数αの最大値
を求めよ。
考え方 x>0 におけるf(x)=x2-2alogx の最小値が正または0であればよい。
f(x)=x2-2alogx とおくと, α >0より,
CE
f'(x)=2x-
=
2a_2(x²-α)_2(x+a)(x-√a)
x
XC
XC
x=√√a
f'(x) =0 とすると, x>0より,
増減表は右のようになり、x=√αで極小かつ最小で
最小値は,
f(√a)=(√a)2-2a10g√a=a(1-10ga)
a>0より,f(√a)≧0 のとき, loga≦1,
よって, αの最大値はe
x
0
√a
f'(x))
0
+
f(x)
極小
Oka≦e