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0-8-21+
練習 5桁の整数nにおいて,万の位, 千の位, 百の位, 十の位、一の位の数字をそれぞれ a, b, c,
@34d, e とするとき, 次の条件を満たすnは何個あるか。
(1)a>b>c>d>e
(2) abczdze
(3) a+b+c+dte≦6
(1) 0, 1, 2, 9の10個の数字から異なる5個を選び,大き←a>b>c>d>e から,
い順にa, b, c, d, e とすると, 条件を満たす整数nが1つ定 0 となる。
まるから
10C5252 (個)
(2) 0, 1, 2, 9の10個の数字から重複を許して5個を選び,
大きい順に a, b, c, d, e とすると, a≧b≧c≧d≧e≧0 を満た
す整数a, b, c,d, e の組を作ることができる。このうち,
a=b=c=d=e=0の場合は5桁の整数にならないから、 求め
る整数nの数は
10H-1=10+5-1C5-1=14C5-1=2002-1=2001(個)
(3)A=a-1 とおくと, a≧1であるから
また, a=A+1であるから,条件の式は、
(A+1)+b+c+dte≦6
よって
A+b+c+d+e≦5
ここで, f=5-(A+b+c+d+e) とおくと、
A20
←○5個と9個の順列
を利用して
してもよい。
C5-1と
だけ
が1以上では扱いにくい
から、おき換えを行う。
A+b+c+d+e+f=5
求める整数nの個数は,①を満たす 0 以上の整数の組
合
(A, b, c,d, e, f) の個数に等しい。
ゆえに、異なる6個のものから5個取る重複組合せの総数を考
6H5=6+5-1C5=10C5=252 (個)
えて
別解 まず, a≧0として考える。
f=6-(a+b+c+d+e) とおくと, f≧0 で
a+b+c+d+e+f=6
これを満たす0以上の整数の組 (a, b, c,d,e,f) は
6H6=6+6-1C6=11C6=11C5=462 (個)
b+c+d+e≦6
また,a=0のとき, 条件の式は
g=6-(b+c+d+e) とおくと, g≧0 で b+c+d+e+g=6
これを満たす0以上の整数の組 (b, c,d,e, g) は
5H6=5+6-1C6=10C6=10C1=210 (個)
よって、 求める整数nの個数は 462-210252 (個)
+3+c+d+e=k
(k=0.1,2,3,4,5)と
して考え Ho+sH」
+6H2+sHa+H4+5H5
=Ca+sCi+C2+ C3
+8C4+9C5
252 (個) でもよい。
←αが0以上の場合から
αが0の場合を除く方針。
