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第6章
基礎問
90 共通接線
2つの曲線 C: y=x', D:y=x2+px+g がある.
(1)△C上の点P(a, α) における接線を求めよ
>(2) 曲線DはPを通り, DのPにおける接線は1と一致するこ
のとき,b,g をαで表せ.
(2)のとき,Dがx軸に接するようなαの値を求めよ.
(2) 2つの曲線 C, D が共通の接線をもっているということです
が,共通接線には次の2つの形があります。
(I型)
P
(Ⅱ型)
y=f(x) y=g(x) y=f(x)
y=9(x)
P
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アイは
よって,
(3) D:y=
Dがx軸
: g-
よって
. C
注 a=
は,図
である
(2)ホ
α
違いは,接点が一致しているか, 一致していないかで,この問題は接点がP
で一致しているので(I型)になります。
f(エ
f'(
どちらの型も、接線をそれぞれ求めて傾きとり切片がともに一致すると考え
れば答をだせますが, (I型) についてはポイントの公式を覚えておいた方が
よいでしょう。 解答は、この公式を知らないという前提で作ってあります。
解答
(1)y=x3より,y'=3x2 だから,P(a,d) における接線は,
y-d=3a²(x-a)
:.l:y=3ax-2a3 ...... ア
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ポイン
(2)PはD上にあるので,a2+pa+q=a...... ①
また,y=x+px+α より y'=2x+p だから,
Pにおける接線は,y-d=(2a+b)(x-a)
:.l:y=(2a+p)x+a-2a²-pa
y=(2a+p)x+q-a² ...... ( DE )
演習問題 9