-
![]()
極方程式と軌跡
00000
基本 例題 83
点Aの極座標を (10, 0), 極0と点Aを結ぶ線分を直径とする円Cの周上の任
意の点をQとする。点Qにおける円Cの接線に極から垂線OP を下ろし、
Pの極座標を (r, 0) とするとき,その軌跡の極方程式を求めよ。 ただし,
00πとする。
[類 岡山理科大
基本 81
指針点P(r, 0) について,r,の関係式を導くために,円Cの中心Cから直線 OP に垂線
CHを下ろし、 OP と HP, OH の関係に注目する。
まず, 00
0<<>
π
2'2
<<πで場合分けをして, 0 の関係式を求め,次に, 0=0,
の各場合について吟味する。
CHART 軌跡 軌跡上の動点 (r, 0)の関係式を導く
解答
Cの中心をCとし, Cから直線OP に垂線 CH を下ろすと
OP=r, HP=5
[1]08のとき
[1]
P
Q
10=7を境目として,Hが
線分 OP 上にあるときと
線分 OP の延長上にある
ときに分かれる。
OP=HP+OH
OH=5cos0 であるから
r=5+5cos
[2]のとき
[2]
OP=HP-OH
ここで OH=5cos (π-0)=-5cos0
よって r=5+5cose
[3] 6=0 のとき, PはAに一致し、
OP=5+5cos0 を満たす。(*)
[4] 6=1のとき,OP=5で,
H+
0
-5-C
-5
A
X
<直角三角形 COH に注目。
C
P
1-5-
C A
H-O
C
π
OP=5+5cos を満たす。(*)
以上から、求める軌跡の極方程式は
r=5+5cos0
練習
<直角三角形 COH に注目
(*) [1], [2]で導かれた
r=5+5cose が 8 = 0,
のときも成り立つかど
をチェックする。
[参考] r=5(1+cos e) で
れる曲線をカージオイ
いう (p.151 も参照)。
点Cを中心とする半径 αの円 C の定直径をOA とする。 点Pは円C上の動
© 83点Pにおける接線に0から垂線OQを引き, OQの延長上に点 R をとって
QR=α とする。 Oを極, 始線をOAとする極座標上において, 点Rの極座
(10)(ただし,0≦) とするとき
(1)点Rの軌跡の極方程式を求めよ。
(2)直線 OR の点R における垂線 RQ' は, 点C を中心とする定円に接する
を示せ。
Op.152E
