基本 例題 100
直線に関する対称移動
00000
直線x+y=1 に関して点Qと対称な点をPとする。 点Qが直線
□上を動く。
x-2y+8=0 上を動くとき,点Pは直線 [
③ 基本 78,98
CHART & SOLUTION
線対称 直線 l に関して P と Qが対称
[[1] 直線 PQ がℓに垂直
e
[2] 線分 PQ の中点が上にある
Q
点Qが直線 x-2y+8=0 上を動くときの, 直線 l : x+y=1 に関して点Qと対称な点
Pの軌跡, と考える。 つまり, Q(s, t) に連動する点P (x,y) の軌跡
3
① s, txyで表す。
② x, yだけの関係式を導く。
13
解答
直線x-2y+8=0
①
②
上を動く点をQ(s, t)とし,
直線 x+y=1
inf 線対称な直線を求め
(1)
るには EXERCISES
...... 2
121
4
に関して点Qと対称な点を
P(x, y) とする。
|1
71 (p.137) のような方法も
Q(s,t) あるが, 左の解答で用いた
軌跡の考え方は,直線以外
の図形に対しても通用する。
軌跡と方程式
[1] 点PとQが一致しない
とき, 直線 PQ が直線②
-8
01
iP(x,y)
に垂直であるから
t-y.(-1)=-1
(3)
垂直⇔傾きの積が1
8-X
線分 PQ の中点が直線②上にあるから
xts+y+t=1
④
2
③から s-t=x-y
線分PQの中点の座標は
c+s
④から
s+t=2-(x+y)
s, tについて解くと s=1-y, t=1-x
また,点Qは直線 ①上の点であるから
s-2t+8=0
⑤⑥に代入して
すなわち
2x-y+7=0
(1-y)-2(1-x)+8=0
[2]点PとQが一致するとき、点Pは直線 ①と②の交点
上の2式の辺々を加え
ると 2s=2-2y[s]
辺々を引くと
-2t=2x-2
← s, tを消去する。
⑤
(6)
⑦
であるから x=-2,y=3
これは ⑦を満たす。
以上から、求める直線の方程式は 2x-y+7=0
方程式 ①と②を連立
させて解く。