85 2次関数の係数決定 [最大値・最小値] (1)
00
kの
(1) 関数 y=-2x+8x+k (1≦x≦4) の最大値が4であるように,定数k
基本例
基本 80,82
(2) 関数 y=x2ax+α-2a (0≦x≦2) の最小値が11になるような止の定
を定めよ。 また、このとき最小値を求めよ。
αの値を求めよ。
指針 関数を基本形y=a(x-p)'+αに直し,グラフをもとに最大値や最小値を求め
(1) (最大値)=4 (2) (最小値) = 11 とおいた方程式を解く。
(2) では, 軸x=α (a>0) が区間 0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える
CHART
2次関数の最大・最小 グラフの頂点と端をチェック
(1) y=-2x2+8x+kを変形すると
y
最大
区間の中央の値は
k+8
解答
y=-2(x-2)'+k+8
よって, 1≦x≦4においては,
あるから,軸x=2
4
間 1≦x≦4で中央より
右の図から, x=2で最大値k+8 -
x
左にある。
012
をとる。
ゆえに
k+8=4
最小
最大値を4とおいて
んの方程式を解く。
よって k=-4
このとき, x=4で最小値 4 をとる。
(2) y=x2-2ax+ α-2a を変形すると
y=(x-a)2-2a
[1] 0<a≦2 のとき,x=αで
最小値 2α をとる。
[1] YA
軸
11
2a=11 とすると α=-
la
2
2
これは0<a≦2を満たさない。
[2] 2<αのとき, x=2で
-2a
-最小
Mi 22-2a-2+a²-2a,
つまりα-6a+4をとる。
[2] y
2.
α2-6α+4=11 とすると
最小
a2-6a-7=0
a
これを解くと
=-1,7
02
2 <a を満たすものは a=7
以上から、 求めるαの値はα=7
-2a
-6a+4i
< 「αは正」に注意。
0<a≦2のとき
軸x=αは区間の内。
→頂点x=αで最小。
の確認を忘れずに。
2<αのとき,
軸x=αは区間の右外。
・区間の右端 x=2で最
小。
<(a+1)(a-7)=0
の確認を忘れずに。
定義域をO≦y
とき、定数
この間
形が
a+0
(最
い
なお
解答
関数
[1]
[2]
