基本 例題 45
√3 が無理数であることの証明
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命題「n は整数とする。n' が3の倍数ならば,nは3の倍数である」は真で
ある。これを利用して, √3 が無理数であることを証明せよ。
CHART & SOLUTION
証明の問題 直接がだめなら間接で 背理法
基本44
√3が無理数でない (有理数である)と仮定する。このとき、3=r(rは有理数)と仮
定して矛盾を導こうとすると,「3=の両辺を2乗して、3=r」となり、ここで先に進
めなくなってしまう。そこで,自然数 α, bを用いて3=1(既約分数)と表されると仮
定して矛盾を導く。
解答
√3 が無理数でないと仮定する。
このとき √3 はある有理数に等しいから, 1以外に正の公約
a
数をもたない2つの自然数α, bを用いて3
= と表される。
b
ゆえに
a=√36
両辺を2乗すると
a2=362. ・①
よって, αは3の倍数である。
α2が3の倍数ならば,αも3の倍数であるから,kを自然数
として a=3k と表される。
これを①に代入すると
9k2=362
すなわち
62=3k2
よって, 62は3の倍数であるから, 6も3の倍数である。
ゆえに αとは公約数3をもつ。
これはaとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾す
る。
したがって3は無理数である。
既約分数: できる限り
約分して, αともに1以
外の公約数がない分数。
inf. 2つの整数 α 6 の最
大公約数が1であるとき,
αとは互いに素である
という (数学A参照)。
下線部分の命題は問題
文で与えられた真の命
題である。 なお, 下線部
分の命題が真であるこ
との証明には対偶を利
用する。
