重要例題125点(x+y, xy) の動く領域
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実数x, y が x2+y' ≦1 を満たしながら変わるとき,点(x+y, xy) の動く領域を
図示せよ。
指針▷ x+y=X, xy=Yとおいて,X,Yの関係式 を導けばよい。
① 条件式x2+y'≦1 を X, Yで表す。
→x2+y^2=(x+y)²-2xy を使うと
->>
しかし、これだけでは誤り!
X2-2Y≤1
重要1230
変数のおき換え 範囲に注意
② x, y が実数として保証されるようなX, Yの条件を求める。
→ x, yは2次方程式ピー(x+y)t+xy=0 すなわち-Xt+Y=0の2つの解では
るから,その実数条件として
判別式 D=X2-4Y≧0
解答
X=x+y, Y=xy とおく。
x2+y2≦1から
したがって
(x+y^2xy1 すなわち X2-2Y≦1
X2
Y≥ x²-1..... 10
①
また,x, yは2次方程式(x+y)t+xy=0 すなわち
f2-Xt+Y=0 の2つの実数解であるから, 判別式をDとす
ると
ここで
D≧0
D=(-X)2-4・1・Y=X2-4Y
よって, X2-4Y ≧ 0 から
2数α, βに対して
p=a+B, q=aß
とすると, α βを解とする
2次方程式の1つは
x-px+q=0
X2
Y≤ **........
(2)
① ①,②から
X2
2 2
変数を x, y におき換えて
x2 1
2
したがって, 求める領域は, 右の図の
斜線部分。ただし、 境界線を含む。
12
12
2
12
/2
4
2
2
11/01/10 とすると
検討 実数条件(上の指針の2)が必要な理由
X,YO
x+y=X, xy=Y が実数であったとしても,それがx2+y'≦1 を満たす虚数x,
Yの値という可能性がある。例えば、x=1/21+1/2/i.y=1/12/2
xy=
1
yに対応した
iのとき x+y=1(実数)
- (実数) で, x'+y'≦1 を満たすが x, yは虚数である。このような(x, y) を除外する
めに実数条件を考えているのである。
練習
125 きの
座標平面上の点(p.4) 21
