|EX 三角錐ABCDにおいて辺CDは底面ABCに垂直である。
AB=3で, 辺AB上の2点E,Fは, AE=EF=FB=1 を満たし、
LDAC=30°, LDEC=45°, ∠DBC=60° である。(一橋)
(1) 辺CDの長さを求めよ。
(2) 0=LDFC とおくとき, cose の値を求めよ。
|CD=z とおく。
△DACにおいて AC=√3CD=√3
∠CAB=α とおくと, 余弦定理より,
同様に DEC, ADBC において EC=zBC= 1/35 となる。
A
330°
E
S.
F
(√√3x)+32-(
3C
√3
B
△CAB において cosa=
△CAEにおいて cosa=
2√3x-3
(V3z)2 +12-22
2.3.1
(3)+3)=3√2+12-x"}
となるから,
3 3√√5
これを解くと=123 より
より
=
したがって、CD=3
3√√5
/5
5
5
△CAF において, 余弦定理より,
|FC°= (√3z)+2-2√3z・2・cosa
=(√3z)2+2°-2{(√3z)^2+1°-22)
←△CAEの余弦定理の式を代入
=2-2²=2--
9 1
よって, FC=
5
/5
|△DFCにおいて, 三平方の定理より,
|FD2=FC2+CD=2 よって, FD=V2
したがって, cosd=
FC
FD
=
1
√10
√10
10
D
○