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解答
基本 例画 34 an+1=pan+g型の漸化式
次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
a1=6, an+1=4an-3 (S) O
/ P.462 基本事項 2 重要 38, 基本 48, 51\
指針 an+1=pan+g (p=1,g≠0) の形の漸化式から一般項を求めるには, p.462 基本事項
の解説 ④で紹介した, 特性方程式を利用する方法が有効である。
本間では,α=4α-3を満たすαに対して,次のように変形
する。
an+1-α=4(an-α)
←
等比数列の形。
an+1=4an-3
a=4a-3
an+1-α=4(an-α)
CHART 漸化式 αn+1=pan+g 特性方程式α=pa+αの利用
an+1=4an-3を変形すると
列
an+1-1=4(a-1)
}
(m)
は差
bn+1=4bn, b1=α-1=6-1=5
α=4α-3の解は α=1
なお、この特性方程式
を解く過程は,解答に書
かなくてよい。
an-1=bn とおくと
K
よって,数列{bm}は初項 5, 公比4の等比数列である
bn=5.4-1
から
ゆえに
別解
おくと
an+1=4an-3
an=bn+1=5・4"-1+1
慣れてきたら, an-αの
まま考える。
①でnの代わりに n+1と
an+2=4an+1-3
2
定数部分(「-3」)を消去。
② ① から an+2-An+1=4(an+1 -an)
数列 {an} の階差数列を {6} とすると
bn+1=4bn,b=a-a1=(4・6-3)-6=15
よって, 数列{6} は初項 15, 公比4の等比数列である
から
bn=15.4-1
ゆえに, n≧2の
n-1
......
(*)
a2-4a1-3
n≧2のとき
an a1+15-4k-1=6+
k=1
=5.4-1+1
n=1のとき 5•4°+1=6
15(4-1-1)
4-1
(3)
n-1
an=a+bk
k=1
α=6であるから,③はn=1のときも成り立つ。
したがって
an=5.4" '+1
初項は特別扱い
D
参考 (*)で数列{6} の一般項を求めた後は,次のようにするとこの計算をしなくてすむ。
(*) から
an+1-an=15・4"-1
したがって an=5.4" '+1
① を代入すると
(4an-3)-an=15・4"-1
