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数学 高校生

数IIの不等式の証明です。(2)について質問なのですが、増減表のf’(x)の+-がどうしてこのようになるかがわかりません。教えていただきたいです!

62 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 基本 例題 229 不等式の証明 (微分利用) 0000 p.349 基本事項 3. 基本 219 2 (1) x>2のとき x+16>12x (2) x>0のときx-16≧32(x-2) 指針 ある区間における関数 f(x) の最小値が mならば,その区間において, f(x)≧m り立つ。これを利用して, 不等式を証明する。 ① 大小比較は差を作る 例えば, f (x)=(左辺) (右辺) とする。.. ② ある区間における f(x) の値の変化を調べる。 3 f(x) の最小値を求め, (区間における最小値)>0 (または≧0) から, f(x) (または≧0) であることを示す。 なお,ある区間で f(x) が単調に増加することを利用する方法もある。 →x>aでf'(x)>0 かつf (a) ≧0 ならば,x>αのときf(x)>0 1 大小比較は差を作る CHART 不等式の問題 ②常に正⇔ (最小値) > 0 (1) f(x)=(x+16) 12x とすると 解答 f'(x)=3x²-12=3(x+2)(x-2) f'(x) =0 とすると 2 x≧2 における f(x) の増減表は右のよ うになる。 x 2 f'(x) + 別解 (1) x>2のとき f(x)>0 (f(x) 07 x+16>12x よって, x>2のとき したがって (2) f(x)=(x-16)-32(x-2) とすると 指針」 の方 f(x)=(左辺)(右辺) として,f(x)の値の 化を調べ,f(x)>0を す。 f'(x)=4x-32=4(x3-8) =4(x-2)(x2+2x+4) f'(x)>0 ゆえに,x2のとき f(x)は単調に増加する。 よって,x2のとき f(x)>f(2)=0 すなわち f(x)>0 f'(x)=0 とすると x=2 x0 における f(x) の増減表 x-8=0 の実数解は x 20 ... は右のようになる。 2 x=2のみ。 f'(x) 0 ゆえに,x>0のとき,f(x) + は f(x) 極小 x=2で最小値0 0 をとる。 よって,x>0のとき したがって x-16≧32(x-2) f(x)≥0 [ f(x) の最小値] 20 ▼等号が成り立つのは x=2のとき。

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