統計的な推測
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E二項分布の正規分布による近似
二項分布と正規分布の関連について調べよう。
1回の試行で事象A の起こる確率を とするとき, この試行を回
行う反復試行において, A の起こる回数をX とすれば, Xは二項分布
10 B(n, p) に従う確率変数である。 X =rである確率を P とすると
Pr=nCrp"q"-r
ただし,g=1-p, r = 0, 1, 2,......, n
であり, Xの期待値 E (X),標準偏差 6 (X) は,次のようになる。
E(X)=np,
o(X)=√npa
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二項分布 B(n, 1/6) に従う確率変数Xについて, n=10, 20, 50 の
1とき,確率 Pr を求めて折れ
線グラフをかくと右の図のよ
うになる。
PrA
n=10
0.3
このXと期待値,標準偏差
n=20
0.2
の等しい連続型確率変数が従
n=50
5n
n
20う正規分布 N
6' 36
})の分
0.1
布曲線を重ねてかくと右の図
のようになる。 この図から,
0
5
10
15
20
r
二項分布のグラフの形は, nが大きくなるにつれて正規分布曲線に近づ
くことが予想される。また,実際にそうなることが知られている。