56 (1) (k+1) -k =2k+1 において,
k = 1, 2, 3, ・・・, n をそれぞれ代入
すると
(1+1)2-12=2.1+1
(2+1)2-22 = 2.2+1
(3+1)2-32 = 2・3+1
(n+1)2-n2=2n+1
これらn個の等式の辺々を加えると
(n+1)2-12
= 2(1 + 2 +3 + ・・・+n)+1・n
すなわち
n
(n+1)2-12=22k+n
よって
k=1
n
22k= (n+1)2-12-n=n(n+1)
k=1
n
ゆえに
k = 1 − n (n+1)
k=1