目標
応用
例題
3次方程式の1つの虚数解から
高次方程式の解の1つがわかっているとき, 係数を求めてみよう。
a,bは実数とする。 3次方程式 x-3x²+ax+b=0が1+2iを
解にもつとき,定数a,bの値を求めよ。 また,他の解を求めよ。
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考え方
方程式 P(x) = 0 がαを解にもつ⇔P(α)=0
解答
1+2iが解であるから (1+2)-3(1+2i)"+α(1+2i)+b=0
整理して
(a+b-2)+(2a-14)i=0
a,bは実数であるから, a+6-2, 2α-14 は実数である。
a+b-2=0,2a-14=0
よって
これを解くと
a=7,6=-5
このとき, 方程式は
x-3x2+7x-5=0
A+Bi = 0
左辺を因数分解すると (x-1)(x²-2x+5)= 0
したがって
答
x=1, 1±2i
⇔A=0, B=C
45 ページ参照。
a=7,6=-5,他の解は1, 1-2i
1+2と1-2iを解にもつ2次方程式は何だ
