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数学 高校生

背理法による証明についての問題です 写真に赤くマークしてあるところについて、なぜ‪√‬5=r-7の形にする必要があるのか分からないため、教えてほしいです。 また、‪√‬5+‪√‬7=rの形のまま証明を進めていくのはダメなのかということも教えてほしいです。

106 基本 例題 61 背理法による証明 1000 7 が無理数であることを用いて, 5 + √7 は無理数であることを証明せよ、 指針無理数である (=有理数でない)ことを直接示すのは困難。 そこで,証明しようとする事柄が成り立たないと仮定して、 矛盾を導き, その事柄が成り立つことを証明する方法, すなわち 背理法で証明する。 実数 p.102 基本 無理数 有理数 直接がだめなら間接で 背理法 CHART 背理法 「でない」,「少なくとも1つ」 の証明に有効 +√7は実数であり √5+√7 が無理数でないと仮定する。 このとき√5+√7 は有理数であるから, rを有理数とし て√5+√7=rとおくと 5=-7の倍数でない」 両辺を2乗して ゆえに ¥0であるから 5=x²-2√7r+7 2√7=2+2 √√√7 = r²+2 2r ...... r2+2,2は有理数であるから,①の右辺も有理数であ 無理数でないと仮定し いるから,有理数であ 2乗して,5を消す (*) 有理数の和・差 は有理数である。 38=d +3=p [1] (1+1)(1+8)=do (*) よって①から√7 は有理数となり 7 が無理数である ことに矛盾する。 縁ではない S+++8)=(S+SE)(1+8) したがって, 5+√7 は無理数である。 矛盾が生じたから 1)+1 √5+√7が無理数 ない」が誤りだった 3+4+)は整数である(+)かる。 [1][2]により、対 この仮定,すなわち, したがって、もとの命も真である 背理法による証明と対偶による証明の違い 目 30+=+= [] 命題pg について、 背理法では 「pであって」でない」 (命題が成り立たない)とし 討 盾を導くが,結論の 「g でない」に対する矛盾でも、仮定の 「である」 に対する矛盾 どちらでもよい。 後者の場合,「刀」つまり対偶が真であることを示したことに このように考えると, 背理法による証明と対偶による証明は似ているように感じられ 本質的には異なるものである。 対偶による証明は引 る段階で道

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数学 高校生

直線束の考え方がよく分かりません 87ページの内容を説明して頂きたいです😭 その上で、例題13も説明して頂きたいです

束の考え方 1つの共有点をもつような2つの直線 ax+by+c=0 ax+by+c=0 ...... ② 87 があるとします.ここで、①の式に②の式をを倍して足した新しい式 (ax+by+c)+k(a'x + b'y + c') = 0 を作ってみましょう.これもやはり直線の方程式になります。 ③の式から②の 式のk倍を引き算すれば① の式が作れるのですから, 「①と②」の式と「②と ③」 の式は同値です。つまり、図形的に見れば、 ①と②の2直線の交点と②と ③の2直線の交点は一致することになります。 一致する * このことより, ③は(kの値によらず) ①と②の交点を通る直線である ということがいえます. ③において, kの値をいろ いろと変化させてできる直線の集まりは一点で結わ れた直線の束に見えるので,直線束と呼ばれていま す. これを利用すると, 2直線の交点を通る直線を 実際に交点を求めることなく扱うことができるので とても便利です。 コメント んの値が動くと 直線が動く 直線束 第3章 この束には、②の直線は含まれません,これは, 「同値関係」を考えてみれ ばわかります. もし③が② に一致するならば, 「③と②の共有点の集合」は直 線 ②全体になってしまいますが,「①と②の共有点の集合」 は1点ですので、 同値であることに矛盾してしまうのです. 一方, ②の直線上にない点を (p,g) とすると,ap + b'y + c'≠0 ですので,③が(p, q) を通るようなkの 値を決めることができます (③ に (p, g) を代入したものはんの1次方程式にな るので,それを解けばいいのです) つまり,③は 「①と②の交点を通る ②以 「外のすべての直線」 を表せることがわかります.

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