Question

イェケリマイザー

mとnが素であることになんの意味があるのですか？
この証明の流れや背理法についてはわかるのですが、結局なぜ無理数と言えるのかわかりません！

研究2が無理数であることの証明
前ページの例題2では, 「√2 が無理数である」 ということを認めて
いた。
この事実を,背理法を利用して証明してみよう。
Hist
数学史
5
「√2 が無理数でない」すなわち
「√2 が有理数である」
5
と仮定すると,√2 はある自然数m,nを用いて
m
√2-
①
n
と表すことができる。このとき、できる限り約分して,mとnに1以外
10 の正の公約数がないような分数にする。
10
このような分数を
①から
√2n=m
既約分数という。
この両辺を2乗すると即ハ
2m2=m²
......
②
よって, m² は偶数である。
15
66 ページの例題1により,m²が偶数ならば.
偶数 m は,ある自然数 kを用いて,m=2k と表されるから,②に代
入して
mも偶数となる。
すなわち
2n2=4k2
n2=2k2
20
よって,2は偶数となり, nも偶数となる。
15
6605
2
mnがともに偶数となることは,mとnに1以外の正の公約数が
ないとしたことに矛盾する。
したがって,2は無理数である。
終

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ななみ

まず、√2を有理数とすると、√2=p/qをみたす互いに素な自然数pとqがあります。
2=p^2/q^2
2q^2=p^2
p^2が偶数で、pは偶数です。
p^2が必ず4の倍数なので、qは偶数です。
pとqとも偶数で、仮説と矛盾します。
よって、√2は有理数ではありません。

イェケリマイザー

どうもありがとうございます

Answer 2

大葉

字が汚くて申し訳ないです。mとnが互いに素であるからこそ、矛盾が生まれるのです。