Question

こまいぬさん

数I 集合と命題　の問題です。

問題文↓
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√3は無理数であることを証明せよ。
ただし、nを整数とするとき、n ²が3の倍数ならば、
nも3の倍数であることを用いてよい。
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√3＝n/m と表す意味がわかりません。

画像は解答です。

わかる方、教えて頂けると助かります！

√3 は無理数であることを, 背理法を用いて証明する。 A
「√3 は無理数ではない、つまり有理数である」と仮定すると,A
√3 =
m
(mnは1以外の正の公約数をもたない自然数) とおける。 B
これより、
✓ 有理数であることを式で表せた
n=√3m
この両辺を2乗して.
n2=3m²
・・・・・ ① C✓ 2乗の形をつくれた |
よって, nは3の倍数となるから, nも3の倍数となる。
✓ nが3の倍数とわかった
そこで, n=3k (は自然数) とおくと、①より,
(3k)2=3m²
つまり,m²=3k2となるから, mも3の倍数となる。 mが3の倍数とわかった
すると,m, nともに3の倍数となり,m, nが1以外の正の公約数をもた
ない自然数であることに矛盾する。 B矛盾を指摘できた
よって, 3 は無理数である。 A 結論を示せた
(証明終わり

高校数学 数学i 集合と命題 応用問題

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

そのようにおくのは、矛盾を示すためです

無理数であることを背理法で示すには、
「有理数だと矛盾が起こる」ことを示せばよいです
どんな矛盾を示せばよいかは、
教科書レベルだとパターンが決まりきっています

教科書で頻出な2つのタイプがあります
①√3が無理数であることを使って、
　1+√3が無理数であることを示せ
②√3が無理数であることを示せ
みたいな2つです

①
1+√3が有理数だと仮定すると、
1+√3=p (pは有理数)とおけます
√3=p-1となりますが、左辺は無理数、
右辺は有理数なので、矛盾します

②
√3が有理数だと仮定すると、
√3=n/m (m,nは自然数で、1以外の正の公約数をもたない)
とおけます

有理数の定義は「整数n/整数m (ただしm≠0)で表せる数」
なので、このようにおきます

①は「=p」でも矛盾を示せますが、
②は「=n/m」とおかないと矛盾を示せません
（しかも、m,nは1以外の正の公約数をもたない、
という条件もつけておかなくては矛盾を示せません）

ということで、矛盾を示すために、
n/mとおくことになります