Question

あ

初歩的なものかもしれませんが、青色の質問にそれぞれ答えていただけると嬉しいです。早稲田大学の問題なので、ある程度の発想力は必要かもしれませんが、できるだけその思考のプロセスをお願いします！

20. 〈関数についての等式から関数の周期を決める〉
実数全体の集合を定義域とする定数関数でないxの関数f(x) が,次の条件
すべての実数xに対して,f(-x)=-f(x), f(1+x)=f(1-x)
を満たしている。 このとき,次の条件
すべての実数x に対して, f(x+m)=f(x)
を満たすような正の整数mの最小値はである。
[18 早稲田大・商]

定数関数
0
f(x)=f(x))…②
1f(x)=f(1-2)③
flata) = frayを満たす正の整数
9 Min.
①抽象的な条件がある関数の問題の定石?
具体化
f(x)
f(1→(2+1))=f(i-(ml)=f(-2) = -flas. -④
f(x)=f((+(み)) f(1-(x))=キーズ1)=f(x+1) ⑤
+(x+4) (1+(x+3)) ₤ (1-(2-1)) f(x-2)-(2+2)=(-163) = 10)
m=4では成り立つ.
答案に
②具体化の部分は書かないとだめ
なのか、余白で書くものなのか。
m=
=1.2.3で成り立たないことを証明
③具体化ではなぜ証明にならないのか。
④「~でない」ことの証明→背理法?
(i) f(x)=f(x)が成り立つと仮定(ⅰ)f(x+2)=f(x)が成り立つと仮定
xx+1を代入
f(x+2)=f(x+1)
⑤どういう考えで
④し
xx+1を代入する?
一揆(): F(x+1)
仮定し
-F(x)=f(x)
f(x)
=0
①に反し、不適
④よし
f(x)=f(x)
f(x)=0
①に反し、不適
(1) f(x)
⑤より
3
f(x)が成り立つと仮定
-F(x+1)=f(x)
xx+1を代入
-f(x+2)-flary
④より
fla) - flat)
(i) きり不適
よってη=4

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

HH

①→問題の設定が掴みにくい、頭で上手くイメージできない、などの時はまず、具体的な数字を入れてみるのは定石ですね。というか、問題解く時の準備だと思ってOKです。

②→具体的にシュミレーションしたものは普通、答案には書きません。でも、具体的にやってみたけど解けそうにない、捨て問かも、と思ったら答案用紙に書いておくのはありかもですね。白紙よりは断然いいと思います。

③→「全て実数xについて」と問題文にあるので、どんなxでも一般的に成り立つことを示す必要があります。具体的にやるなら正の整数全部でやる必要あるけど、不可能ですよね…🥲

④→今回求めるのは、条件を満たす正の整数mの「最小値」ですよね。であれば、小さい方から試してみたらm=4で初めて成り立ったよ、ということを示せば良い、ということですね。（解く時は、シュミレーションにおいて、m=4で初めて成り立つ、ということを明確にして答案書き始めます。）

⑤→これも具体的にやって、x+1を代入すると上手く矛盾が示せたのだと思います。「矛盾示したいなぁ。添付画像2枚目の②~④の式辺り使って式変形して…あ矛盾だ。」みたいな感じだと思います。

加えてなんですが、f(x)=-f(x)とf(1-x)=f(1+x)の式の意味は分かりますか？
f(x)=-f(x)は、y=f(x)は原点対称のグラフ
f(1-x)=f(1+x)は、y=f(x)はx=1について対称のグラフ
ということが分かります。
これが最初に分かると、f(x)はsinのグラフではないか、なんていう予測が立つわけです。

あ

こんなに回答してくださりありがとうございます！
ただの発想という訳ではなく、色々操作して予想がつけられるということですね