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基本 24 数列の和と一般項、部分数列
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初項から第n項までの和SがS=2n-nとなる数列{am} について
(2) a+as+as+...
(1) 一般項 an を求めよ。
【指針 (1) 初項から第n項までの和S,と一般項 αの関係は
Sn=a+az+....+an-itan
n≧2のとき
- Sμ-1=a1+a2+....+αn-1
Sn-Sn-1=
n=1のとき a₁=S₁
+αzn-1 を求めよ。
P.439 基本事項 4 基本 48
an
よって an=S-S-1
an
和Snがnの式で表された数列については、この公式を利用して一般項 αn を求める。
(2)数列の和
まず 一般項 (第五項) をんの式で表す
第1項 第2項 第3項, ...... 第k項
a1;
a3,
a5,
a2k-1
であるから, α に n=2k-1 を代入して第ん項の式を求める。
なお, 数列 α1, α3, α5,......, 2-1 のように, 数列{an}からいくつかの項を取り除
いてできる数列を, {an} の部分数列という。
(1) n≧2のとき
解答
an=Sn-S-1= (2n²-n)-{2(n-1)-(n-1)}
=4n-3
......
①
また
α=S1=2.12-1=1
ここで,① において n=1 とすると
S=2n2-nであるから
S-1=2(n-1)2-(n-1
①初項は特別扱い
α=4・1-3=1
検討
|よって, n=1のときにも①は成り立つ。
したがって an=4n-3
(2) (1)より,2k-1=4(2k-1)-3=8k-7であるから
ann≧1で1つの式
表される。
a2k-1
an=4n-3 1
n
いてnに2k-1を代入
n
a+a+as+…+azn-1=2a2k-1=2(8k-7)
k=1
k=1
=8.1m(n+1)-7n
=n(4n-3)
n≧1でan=S,S,-」 となる場合
(Σk, 21の公式を利用
例題 (1) のように, an=Sn-Sn-1 でn=1とした値とαが一致するのは,S"の式でn=0
したとき So=0 すなわちんの多項式 S” の定数項が0となる場合である。もし、
Sn=2m²-n+1 (定数項が0でない)ならば, a1=Si=2, an=S-S-1=4n-3(n≧2) と
り4-3でn=1とした値とαが一致しない。このとき,最後の答えは
「α=2, n≧2のときa=4n-3」 と表す。
