基本 例題 2462曲線間の面積
| 次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
(1) y=x2-x-1,y=x+2
指針
解答
0000
(
(2) y=x²-2x,y=-x+x+2
基本 240 245
① まず,グラフをかき, 曲線と直線または2曲線の交点のx座標α,β(a<β) を求
めて、積分区間を決定する。
② ①で決めた区間におけるグラフの上下関係を調べ, 被積分関数を定める。
3≦x≦ß で常に f(x)≧g(x)ならS=S{f(x)-g(x)}dxを利用して面積
を求める。
なお,この問題では,定積分の計算に次の CHART の公式が利用できる。
CHART 放物線と面積S(x-a)(x-3)dx=-1/2(B-α)を活用
(1) 曲線と直線の交点のx座標は,
x2-x-1=x+2
すなわち
x²-2x-3=0を解くと
(x+1)(x-3)=0から x=-1, 3
右の図から,求める面積は
2
S
-10
3
x
-1
x)dx
s=S_{(x+2)-(x2-x-1)}dx
=S,(-x+2x+3)dx=-S(x+1)(x-3)dx
検討
放物線と直線 (x軸も含
む)または、2つの放物線
で囲まれた部分の面積に
ついては, CHART の公
式 (6分の1公式) が利用
できる。
-Sex-a)(x-B)dx
=-(-1) (3-(-1))³-32
(2) 2曲線の交点のx座標は,
x2-2x=-x2+ x + 2 すなわち
2x2-3x2=0を解くと
(2x+1)(x-2)=0から
2
S
2
1
2
x
2X-2→-4
1 → 1
2
-2 -3
x=-
2
2
,
右の図から、求める面積は
S=S_{(-x'+x+2)-(x²-2x)}dx
1012
=S』(-2x²+3x+2)dx=-2f(x+1/2)(x-2)dx
x) (S
125
24
-2x2+3x+2
=(2x+1)(x-2)
--2(x+1/2)(x-2)
