Question

まかろん

背理法による証明についての問題です

写真に赤くマークしてあるところについて、なぜ‪√‬5=r-7の形にする必要があるのか分からないため、教えてほしいです。

また、‪√‬5+‪√‬7=rの形のまま証明を進めていくのはダメなのかということも教えてほしいです。

106
基本 例題 61 背理法による証明
1000
7 が無理数であることを用いて, 5 + √7 は無理数であることを証明せよ、
指針無理数である (=有理数でない)ことを直接示すのは困難。
そこで,証明しようとする事柄が成り立たないと仮定して、
矛盾を導き, その事柄が成り立つことを証明する方法,
すなわち 背理法で証明する。
実数
p.102 基本
無理数
有理数
直接がだめなら間接で
背理法
CHART 背理法
「でない」,「少なくとも1つ」 の証明に有効
+√7は実数であり
√5+√7 が無理数でないと仮定する。
このとき√5+√7 は有理数であるから, rを有理数とし
て√5+√7=rとおくと 5=-7の倍数でない」
両辺を2乗して
ゆえに
¥0であるから
5=x²-2√7r+7
2√7=2+2
√√√7 =
r²+2
2r
......
r2+2,2は有理数であるから,①の右辺も有理数であ
無理数でないと仮定し
いるから,有理数であ
2乗して,5を消す
(*) 有理数の和・差
は有理数である。
38=d
+3=p [1]
(1+1)(1+8)=do
(*)
よって①から√7 は有理数となり 7 が無理数である
ことに矛盾する。
縁ではない
S+++8)=(S+SE)(1+8)
したがって, 5+√7 は無理数である。
矛盾が生じたから
1)+1
√5+√7が無理数
ない」が誤りだった
3+4+)は整数である(+)かる。
[1][2]により、対
この仮定,すなわち,
したがって、もとの命も真である
背理法による証明と対偶による証明の違い
目
30+=+= []
命題pg について、 背理法では 「pであって」でない」 (命題が成り立たない)とし
討
盾を導くが,結論の 「g でない」に対する矛盾でも、仮定の 「である」 に対する矛盾
どちらでもよい。 後者の場合,「刀」つまり対偶が真であることを示したことに
このように考えると, 背理法による証明と対偶による証明は似ているように感じられ
本質的には異なるものである。 対偶による証明は引
る段階で道

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🍇こつぶ🐡

なぜ‪√‬5=r-7の形にする必要があるのか分からないため、教えてほしいです。
＞√‬5=r-√7ですね。

問題文に√7が無理数であることを用いてとあるから、2乗して√7が出てくる形にするため√‬5=r-√7にしてます。

、√‬5+‪√‬7=rの形だと、2乗して√7ができず、問題文の√7が無理数であることが使えません。だから、だめ🙇

まかろん

ありがとうございます！