背理法による証明についての問題です 写真に赤くマークしてあるところについて、なぜ‪√‬5=r-7の形にする必要があるのか分からないため、教えてほしいです。 また、‪√‬5+‪√‬7=rの形のまま証明を進めていくのはダメなのかということも教えてほしいです。

106 基本 例題 61 背理法による証明 1000 7 が無理数であることを用いて, 5 + √7 は無理数であることを証明せよ、 指針無理数である (=有理数でない)ことを直接示すのは困難。 そこで,証明しようとする事柄が成り立たないと仮定して、 矛盾を導き, その事柄が成り立つことを証明する方法, すなわち 背理法で証明する。 実数 p.102 基本 無理数 有理数 直接がだめなら間接で 背理法 CHART 背理法 「でない」,「少なくとも1つ」 の証明に有効 +√7は実数であり √5+√7 が無理数でないと仮定する。 このとき√5+√7 は有理数であるから, rを有理数とし て√5+√7=rとおくと 5=-7の倍数でない」 両辺を2乗して ゆえに ¥0であるから 5=x²-2√7r+7 2√7=2+2 √√√7 = r²+2 2r ...... r2+2,2は有理数であるから,①の右辺も有理数であ 無理数でないと仮定し いるから,有理数であ 2乗して,5を消す (*) 有理数の和・差 は有理数である。 38=d +3=p [1] (1+1)(1+8)=do (*) よって①から√7 は有理数となり 7 が無理数である ことに矛盾する。 縁ではない S+++8)=(S+SE)(1+8) したがって, 5+√7 は無理数である。 矛盾が生じたから 1)+1 √5+√7が無理数 ない」が誤りだった 3+4+)は整数である(+)かる。 [1][2]により、対 この仮定,すなわち, したがって、もとの命も真である 背理法による証明と対偶による証明の違い 目 30+=+= [] 命題pg について、 背理法では 「pであって」でない」 (命題が成り立たない)とし 討 盾を導くが,結論の 「g でない」に対する矛盾でも、仮定の 「である」 に対する矛盾 どちらでもよい。 後者の場合,「刀」つまり対偶が真であることを示したことに このように考えると, 背理法による証明と対偶による証明は似ているように感じられ 本質的には異なるものである。 対偶による証明は引 る段階で道

「aが無理数であれば、√2+√aは無理数である」の真偽をし証明するという問でこの命題が偽であることはわかったのですが、この反例のa=6-4√2というのはどうやって出すのでしょうか? この反例自体は理解してます。自分で考えて出すものなのでしょうか?

10歳 8 11歳 (有理数と無理数の命題の真偽) approach p.5 問題 を正の実数とするとき,以下の命題の真偽を調べ,真であれば証明し, 偽であれば反例をあげよ。 12 なお,必要に応じて、2が無理数であることを証明なしで用いてよい。 6-4√√2 ( N 女形させ

なぜ赤で囲まれたところでは、.... <(１／3)^n(3-a1)なのに回答では<=になっているのか？ ChatGPTに聞いてみたけどよくわかりませんでした。教えて欲しいです

重要 30 漸化式と極限 (5) ・・・はさみうちの原理 00000 数列 (a) が 03.42=1+1+α (n=1, 2, 3, ......) を満たすとき (1) 03を証明せよ。 ((3) 数列{an) の極限値を求めよ。 指針 (2) 3-** <1/12 (3-2)を証明せよ。 [ 神戸大] p.34 基本事項 基本 21 ① すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法の利用。 (2)(1)の結果、すなわち、3-0であることを利用。 (3) 漸化式変形して、一般項αをの式で表すのは難しい。そこで、(2)で示した 不等式を利用し、はさみうちの原理を使って数列 (3-α)の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて Disastのとき limp = limg =α ならば なお,p.54.55の補足事項も参照。 lima-a 53 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 2章 数列の極限 解答 (1) 0<an<3 ...... ① とする。 [1] n=1のとき,与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき,①が成り立つと仮定すると 0<ak <3 nk+1のときを考えると, 0<ak<3であるから ak+1 1+1+ak >2>0 ak+1=1+1+ak <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 < よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ①は成り立つ。 (2)3-αn+1=2√1+an = 3-an 2+√1+an </13- <1/3 (3-4) \n-1 lim (3)(12) から, n≧2のとき no 3 1\n-1 したがって 03-am = (1/3) =(1/2) (301) (3-α1) = 0 であるから lim(3-an)=0 N1X liman=3 n→∞ 数学的帰納法による。 <0<a<3 <<αから√1+ax >1 <3から√1+αk <2 3-a>0であり,an>0 から an> n≧2のとき, (2) から 3-and- an< (3-an-1) (1/2)(3)……… \n-1 (1/2)(3) 3 =2, n=2のとき a2= 2/2 am1-1/2 を満たす数列{an)について すべての自然数nに対してan>1であることを証明せよ。 「類 関西

mとnが素であることになんの意味があるのですか？ この証明の流れや背理法についてはわかるのですが、結局なぜ無理数と言えるのかわかりません！

研究2が無理数であることの証明 前ページの例題2では, 「√2 が無理数である」 ということを認めて いた。 この事実を,背理法を利用して証明してみよう。 Hist 数学史 5 「√2 が無理数でない」すなわち 「√2 が有理数である」 5 と仮定すると,√2 はある自然数m,nを用いて m √2- ① n と表すことができる。このとき、できる限り約分して,mとnに1以外 10 の正の公約数がないような分数にする。 10 このような分数を ①から √2n=m 既約分数という。 この両辺を2乗すると即ハ 2m2=m² ...... ② よって, m² は偶数である。 15 66 ページの例題1により,m²が偶数ならば. 偶数 m は,ある自然数 kを用いて,m=2k と表されるから,②に代 入して mも偶数となる。 すなわち 2n2=4k2 n2=2k2 20 よって,2は偶数となり, nも偶数となる。 15 6605 2 mnがともに偶数となることは,mとnに1以外の正の公約数が ないとしたことに矛盾する。 したがって,2は無理数である。 終

調和級数の発散することについての証明の問題です。 ⑵でやりたいことは、Snがm/2+1より大きいから、右辺発散する→左辺の級数も発散するみたいにしたいからなのは分かります。n>=2^nと書くのではなく、nを2^nにおきかえるとと書いたらだめなんですか？

重要 例題 (1) すべての自然数nに対して、 (2) 無限級数1+1/2/2 1 3 k=1 k 1 n 45 無限級数1/n が発散することの証明 2 n 1/12 172 +1が成り立つことを証明せよ。 77 000 + +......+ -+...... は発散することを証明せよ。 基本 34. 重要 44 はさみう 分の公比) (1)数学的帰納法によって証明する。 (2) 数列 列{1} は0に収束するから、p.63 基本例題 34のように、p.61 基本事項2② を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 2 とすると = ここで,m→∞のときn→∞となる。 2章 無限級数 [1] n=1のとき ① とする。 21 k=1k 数学II) =0 Crab とする。 k=1 (1)= +1 ...... 解答 的帰納法を利 も考えられる カード の計算 = 1+1/28-1/3+1 よって、 ① は成り立つ。 [2]n=m(m は自然数) のとき,①が成り立つと仮定すると1/21 このとき 2m+1 2m+1 1 + k=1 k k=1 k k=2+1k -xn -x ≥ -nx" (+1)+2+1+2+2 1 ++ 2m+1 x)S 1 m +1+ 1 + x" (1-x) 2 2m+1 2+2 +::::+ 2m+2m -x m 1 m+1 <2m+1=2".2=2+2" 1 ・+1+ •2m +1 2 2m+1 2 2m+k 2m+2m 2m+1 n+1) 2 ="+nx+1 (2)=21/2とおく。2" とすると, (1) から k →∞のときn→∞で ここで,m→ m 2 よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。 (k=1, 2,..., 2"-1) [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 2m 1 m ・+1 k=1 k 2 →∞ lim +1=8 limSn=∞ 118 里 き、 したがっては発散する。 an≦bn liman=∞⇒limbn=∞ (p.343②) →∞ 8122 n=1n なら amil 無限級数1/n”の収束・発散について 数列{a} が 0 に収束しなければ,無限級数 2α7 は発散するが (p.61 基本事項2②), こ 検討 80 n=1 の逆は成立しない。 上の (2) においてlim=0であることから,このことが確認できる。 U 00+u n なお,2は>1のとき収束, p≦1のとき発散することが知られている。 (S) n=1 n' 二大] 練習 80 ④ 45 上の例題の結果を用いて,無限級数 は発散することを示せ。 p.81 EX 32 n=1 31\

この問題について質問です｡そもそも，n=kが整数である時なぜ，n=k+1も整数だと仮定してもいいのですか？

504 重要 例題 60 n=k, k+1の仮定 解答 1000 nは自然数とする。 2 数x, yの和と積が整数ならば, x”+y" は整数である を証明せよ。 指針 自然数nの問題であるから, 数学的帰納法で証明する。 xk+1+yk+1 xk+y* で表そうと考えると ***+y**¹=(x*+y*)(x+y)=xy(x*-1+y14-1) よって、「x+yk は整数」に加え、「xk-1+yk-1 は整数」という仮定も必要。 そこで,次の [1], [2] を示す数学的帰納法を利用する。 下の検討も参照。 [1] n=1, 2 のとき成り立つ。 初めに示すことが2つ必要。 [2] n=k, k+1のとき成り立つと仮定すると, n=k+2のときも成り立っ 仮定にn=k, k+1などの場合がある CHART 数学的帰納法 [1] n=1のとき 出発点も それに応じて n=1,2を証明 x'+y'=x+yで, 整数である。 n=2のとき x2+y2=(x+y)²-2xy で, 整数である。 n=1,2のときの 整数の和差積は [2] =k,k+1のとき, x”+y” が整数である, すなわち, n=k, k+1の x+yk, xk+1+yk+1はともに整数であると仮定する。 n=k+2のときを考えると xk+2+114+2 = (x4 +1+y+1)(x+y)-xy(x*+yk). XC x+y, xy は整数であるから, 仮定により, xk+2+yk+2 も整数である。 よって, n=k+2のときにもx"+y” は整数である。 [1], [2] から, すべての自然数nについて,x "+y” は整数で ある。 =2のときの 整数の和 注意 [2] の仮定でn=k-1, k とすると, k-11の条件からk≧2 としなければならない 上の解答で n=k, k+1としたのは, それを避けるためである。 同n=h

(3)です。 なぜnの二乗が4の倍数であるとわかったのでしょうか？ よろしくお願いいたします。

6 明せよ. (3) 2 が無理数であることを背理法を用いて示せ が正しいことを対隅を 対偶 もと (2) 与 2- よ 注 精講 (1)(2)ある命題が正しいことを真 (true), まちがってい 偽 (false)といいます (3)

数学の仮設検定です。 仮設検定では裏を判定して結果を出しているけど、裏は真偽が一致しないのではないでしょうか？

仮説 (A) 「抽選において不正が行われた」 を否定するMO 仮説 (B) 「抽選は無作為に行われた」 08.0 を立てる。この仮定のもとで, 5人中全員男子が選ばれる確率を求めると (a) ( 113C5 13.12.11.10.9 5･4･3･2･1 5・4・3・2・1 20・19・18・17・16 20 429 =0.083... 5168 4 0.083 (=約8%)は5%より大きいので 「ほとんど起こらない」 とはいえず, 仮説 (B) は否定できない.したがって, 仮説 (A) が正しいとは判断できない.

最後の10((k-1)²-2)>0ってなんででてくるのか教えて欲しいです

よ。 (2)n≧10 のとき 2">10m² 82 [類 茨城大 p.506 EX 34

両辺の差を考えると、からがわかりません

54 練習 n は自然数とする。次の不等式を証明せよ。 ②57(1) n!≧2"-1 [ 名古屋市大 ] 証明する不等式を ① とする。 (左辺)=1!=1, (右辺) =2°=1 (1) [1] n=1のとき よって, ① は成り立つ。 (2)n≧10 のとき [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると k!≧2k-1 ② n=k+1のとき,①の両辺の差を考えると,② から ゆえに (k+1)!-2(k+1)-1=(k+1) ・k!-2 ≧(k+1) ・2k-1-2.2k-1 (k+1)!≧2(k+1)-1 =(k-1)・2k-1≧0 よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ