Question

ひーー

調和級数の発散することについての証明の問題です。
⑵でやりたいことは、Snがm/2+1より大きいから、右辺発散する→左辺の級数も発散するみたいにしたいからなのは分かります。n>=2^nと書くのではなく、nを2^nにおきかえるとと書いたらだめなんですか？

重要 例題
(1) すべての自然数nに対して、
(2) 無限級数1+1/2/2
1
3
k=1 k
1
n
45 無限級数1/n が発散することの証明
2
n
1/12 172 +1が成り立つことを証明せよ。
77
000
+ +......+ -+...... は発散することを証明せよ。
基本 34. 重要 44
はさみう
分の公比)
(1)数学的帰納法によって証明する。
(2) 数列
列{1} は0に収束するから、p.63 基本例題 34のように、p.61 基本事項2②
を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。
2 とすると
=
ここで,m→∞のときn→∞となる。
2章
無限級数
[1] n=1のとき
① とする。
21
k=1k
数学II)
=0
Crab
とする。
k=1
(1)=
+1
......
解答
的帰納法を利
も考えられる
カード の計算
=
1+1/28-1/3+1
よって、 ① は成り立つ。
[2]n=m(m は自然数) のとき,①が成り立つと仮定すると1/21
このとき
2m+1
2m+1
1
+
k=1 k
k=1 k
k=2+1k
-xn
-x
≥
-nx"
(+1)+2+1+2+2
1
++
2m+1
x)S
1
m +1+
1
+
x" (1-x)
2
2m+1 2+2
+::::+
2m+2m
-x
m
1
m+1
<2m+1=2".2=2+2"
1
・+1+
•2m
+1
2
2m+1
2
2m+k 2m+2m
2m+1
n+1)
2
="+nx+1
(2)=21/2とおく。2" とすると, (1) から
k
→∞のときn→∞で
ここで,m→
m
2
よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。
(k=1, 2,..., 2"-1)
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
2m 1 m
・+1
k=1 k
2
→∞
lim +1=8
limSn=∞
118
里
き、
したがっては発散する。
an≦bn liman=∞⇒limbn=∞ (p.343②)
→∞
8122
n=1n
なら
amil
無限級数1/n”の収束・発散について
数列{a} が 0 に収束しなければ,無限級数 2α7 は発散するが (p.61 基本事項2②), こ
検討
80
n=1
の逆は成立しない。 上の (2) においてlim=0であることから,このことが確認できる。
U 00+u
n
なお,2は>1のとき収束, p≦1のとき発散することが知られている。 (S)
n=1 n'
二大]
練習
80
④ 45
上の例題の結果を用いて,無限級数
は発散することを示せ。
p.81 EX 32
n=1
31\

極限値 無限級数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ℝ𝕦𝕟𝕒ෆ‪‪⸝⸝꙳

最初の定義を「部分和S(n)」ではなく「部分和S(2ⁿ)」とおけばそういう証明でも大丈夫だと思います.ᐟ.ᐟ画像の通りです。
ただ、「証明のテンプレートと違うじゃん！減点！」みたいな理不尽な採点を避けたいなら模範解答のように書くのが無難かなと思います。

ひーー

なるほど、理解しました！