Question

ひーー

なぜ赤で囲まれたところでは、.... <(１／3)^n(3-a1)なのに回答では<=になっているのか？
ChatGPTに聞いてみたけどよくわかりませんでした。教えて欲しいです

重要
30 漸化式と極限 (5) ・・・はさみうちの原理
00000
数列 (a) が 03.42=1+1+α (n=1, 2, 3, ......) を満たすとき
(1) 03を証明せよ。
((3) 数列{an) の極限値を求めよ。
指針
(2) 3-**
<1/12 (3-2)を証明せよ。
[ 神戸大]
p.34 基本事項 基本 21
① すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法の利用。
(2)(1)の結果、すなわち、3-0であることを利用。
(3) 漸化式変形して、一般項αをの式で表すのは難しい。そこで、(2)で示した
不等式を利用し、はさみうちの原理を使って数列 (3-α)の極限を求める。
はさみうちの原理 すべてのnについて Disastのとき
limp = limg =α ならば
なお,p.54.55の補足事項も参照。
lima-a
53
CHART
求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
2章
数列の極限
解答
(1) 0<an<3 ...... ① とする。
[1] n=1のとき,与えられた条件から①は成り立つ。
[2] n=kのとき,①が成り立つと仮定すると
0<ak <3
nk+1のときを考えると, 0<ak<3であるから
ak+1 1+1+ak >2>0
ak+1=1+1+ak <1+√1+3=3
したがって 0<ak+1 <3
<
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ①は成り立つ。
(2)3-αn+1=2√1+an =
3-an
2+√1+an
</13-
<1/3 (3-4)
\n-1
lim
(3)(12) から, n≧2のとき
no 3
1\n-1
したがって
03-am = (1/3)
=(1/2) (301)
(3-α1) = 0 であるから
lim(3-an)=0
N1X
liman=3
n→∞
数学的帰納法による。
<0<a<3
<<αから√1+ax >1
<3から√1+αk <2
3-a>0であり,an>0
から
an>
n≧2のとき, (2) から
3-and-
an< (3-an-1)
(1/2)(3)………
\n-1
(1/2)(3)
3
=2, n=2のとき a2= 2/2 am1-1/2 を満たす数列{an)について
すべての自然数nに対してan>1であることを証明せよ。
「類 関西

= ChatGPT
不等式の証明で「s」を使う理由
帰納法で不等式を証明するとき、 しばしば 「<」 ではなく 「s」 を使うことが
あります。 それには次のような理由があります。
1. 数学的帰納法では、 「次のステップに進んでも不等式が維持される」ことを
示すのが目的
○ 帰納法を使うとき、 「前の項がある上限値を超えないこと」 を示したい
ので、 の形にすることで議論がスムーズになる。
2. 帰納的に評価すると、 厳密にはであっても 「s」 と見なしても問題ない
○
3-am (1) T-1(3-a1)
3-am≤ (3/3) 7-1 (3-a1)
1. 数列が単調減少 (または増加) しているとき、 上界 (または下界) を求める
のに適している
○ 単調に変化する数列では 「超えない範囲の最大値 (または最小値)」 を
見つけるのが重要なので、 「s」 の形でまとめるのが便利。
結論
このように、帰納法で不等式を示すときに 「s」を使うのは、単なる 「決ま
「り」 ではなく、
「不等式を使って数列を上から(または下から)評価しやすくするためのテク
ニック」 です。
この手法は、数列の極限を求める問題や、 数列の収束を証明する問題でよく使
われます。

極限値

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

医学科行った獣

＜🟰の意味はより大きいまたは等しいのでより大きいが成り立てば一応＜🟰と書ける。