Question

m

両辺の差を考えると、からがわかりません

54
練習 n は自然数とする。次の不等式を証明せよ。
②57(1) n!≧2"-1
[ 名古屋市大 ]
証明する不等式を ① とする。
(左辺)=1!=1, (右辺) =2°=1
(1) [1] n=1のとき
よって, ① は成り立つ。
(2)n≧10 のとき
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
k!≧2k-1
②
n=k+1のとき,①の両辺の差を考えると,② から
ゆえに
(k+1)!-2(k+1)-1=(k+1) ・k!-2
≧(k+1) ・2k-1-2.2k-1
(k+1)!≧2(k+1)-1
=(k-1)・2k-1≧0
よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

不等式①の左辺-右辺が0以上であることを示そうとしています。
n=k+1のとき、左辺-右辺は
(k+1)!－2のk乗　…(✱)
で、これが0以上を示します。

数学的帰納法でポイントになるのは、仮定を使うことです。どこかでn=kのときの仮定②を使って示さないと数学的帰納法として成り立たないし、そもそも仮定を使わなくて示せるならば、わざわさ数学的帰納法を用いなくてよいことになります。

n=kのときの仮定
k!－2の(k-1)乗≧0　...②
を使いたいので
(k+1)!は、(k+1) × k! （→k+1を1つちぎった）
として、無理矢理 k! を登場させます。すなわち、
式(✱)
=(k+1)!－(2のk乗)
=(k+1) × k! －(2のk乗)

②は変形すると
k!≧2の(k-1)乗　...②'
なので、これを用いると
(k+1) × k! －(2のk乗)
≧ (k+1) × (2の (k-1) 乗) －(2のk乗)
となります。

(k+1) × (2の (k-1) 乗) －　(2のk乗)
は、共通因数である2の (k-1) 乗でくくれるので
(2の (k-1) 乗)　×　{(k+1)　-2}
=(k-1) × (2の(k-1)乗)
kが1以上の自然数であるとき、k-1は0以上、2のk-1乗は1以上の値になるので、これは0より大きいことになるので、
式(✱)≧　(k+1) × (2の (k-1) 乗) －　(2のk乗)　≧0

以上から、n=k+1のとき0以上を示せました。

m

いやもう本当に完璧でご丁寧な説明でとてもありがたいんですけど、私の理解能力が低いので文字？だと何乗とかが分かりずらいので紙に書いてもらえたりするととても助かります、、、！！！！
絶対大変だと思うのでこのままでも全然大丈夫なのですが！もしお時間あればお願いしたいです

ブドウくん

これでよいでしょうか

m

ありがとうございます
助かりました🙏