(2)なせN≧0で0が入るのですか？

基本例題 36 鉛直面内の円運動 ・165,166,167,168 解説動画 図のように、なめらかな斜面と半径rのなめらか な半円筒面が点Aでつながっている。質量m の小 球を,点Aからの高さんの斜面上の点Pで静かには なしたところ, 小球は面にそって運動し, 最高点B を通過した。重力加速度の大きさをgとする。 (1) 点B を通過するときの小球の速さを求めよ。 h (2) 点Bを通過するために, んが満たすべき条件を求めよ。 指針 最高点Bで受ける垂直抗力が0以上であれば, 小球は点Bを通過できる。 解答 (1) 点Aを重力による位置エネルギーの 基準とし, 点Pと点Bの間で力学的 エネルギー保存則を立てると 0+mgh= gh=1mv²+mg.2r よってv=√2g(h2r) (2) 点Bで小球が円筒面から受ける垂直 抗力の大きさをNとする。 小球とと もに運動する観測者から見ると, 点 Bにおいて小球には重力, 垂直抗力, 遠心力がはたらき,これらがつりあ っている。 したがって v2 m --N-mg=0 r よって v2 N=m² mg =m r 2g(h-2r) =(2h-5) mg A m v B V mg N 0 - mg N≧0 であれば,小球は IA 27 面を離れずに点Bを通過できる。 したがって 5 2h N= v=27-5) mg Img≧0 ゆえに mor

（2）条件にV>０とありますが、なぜV＝0は含まれないのか教えてください

遠心力に関係した身近なものとしては, 洗濯機や遊園地のループ式ジェットコースターなどがある。 例題 15 鉛直面内での円運動 右図のような, 半径[m〕のなめらかな円筒面に向 けて,質量m〔kg〕 の小物体を大きさvo [m/s] の初速 度でなめらかな水平面からすべらせる。 重力加速度の 大きさをg〔m/s'] とする。 53 58 62 B C 10 (1) 鉛直線となす角が0の点(図の点C) を通過すると きの, 小物体の速さと面から受ける垂直抗力の大き さを求めよ。 m Vo A 5 (2) 小物体が点Bを通過するための の条件を求めよ。 ●センサー14 解答 (1) 点での小物体の速さを 円運動では,地上から見て 解くか, 物体から見て解く かを決める。 [m/s] とすると, 力学的エネルギー 保存の法則より B mgcoso N C 1 12= mvo mv2. +mg(r+rcose) ① 地上から見る場合 遠心力は考えず,力を円の 半径方向と接線方向に分解 し,円運動の半径方向の運 動方程式を立てる。 2 ゆえに、 rcos 00 0 mg m-=F r または mrw=F ② 物体から見る場合 v = √v2-2gr(1+cos0) [m/s] 垂直抗力の大きさをN[N] とすると, 地上から見た円運動の運動方程式は, m- =N+mg cose r これに”を代入し、整理すると, ......① 遠心力を考え、力を円の半 径方向と接線方向に分解し, 半径方向のつり合いの式を 立てる。 ※どちらでも解ける。 2 mvo N= -mg (2+3cos) 〔N〕 r ……② ● センサー 15 物体が面に接しているとき, 垂直抗力 N≧0 (1) 水平面を重力による位置 エネルギーの基準面とする。 別解 小物体から見ると, 円の半径方向にはたらく力は,実際 にはたらく力のほかに、円の中心0から遠ざかる向き に遠心力がはたらいている。 半径方向の力のつり 合いより, N+mg cosm-00 (量的関係は上と同じ) r 圃 非等速円運動では,円の接線方向にも加速度があり、物体か ら見た場合、接線方向での力のつり合いを考えるためには、接 線方向にはたらく慣性力を考える必要がある。 (2)(1)より,00π [ad] では, 0が小さくなるにつれて, v, Nはともに減少していく。 点Bを通過するためには,点B でぃ> 0 かつN≧0 であればよい。 ① より 0=0を”に代 入して, v= √vo²-4gr よって,vo4gr>0 ゆえにvor 注 ③ ④を比較すると, N≧0(面から離れない条件) が 2 の条件を決めることになる。 2 mvo また,②より 0=0をNに代入して、N= 5mg r 2 mvo よって, -5mg≥0 ゆえに、vo√5gr r ③ ④ がともに成り立つためには,vo ≧√5gr 5円運動 35

この問題は、等速円運動ではない円運動をしていますよね？ 等速円運動ではないのに、等速円運動の運動方程式（F＝m×r分のv2乗）を使えるのはなぜですか？

遠心力に関係した身近なものとしては,洗濯機や遊園地のループ式ジェットコースターなどがある。 例題15 鉛直面内での円運動 右図のような, 半径[m〕のなめらかな円筒面に向 けて,質量m〔kg〕 の小物体を大きさ [m/s] の初速 度でなめらかな水平面からすべらせる。 重力加速度の 大きさをg〔m/s'] とする。 53 58 62 B C P (1) 鉛直線となす角が0の点(図の点C) を通過すると きの, 小物体の速さと面から受ける垂直抗力の大き さを求めよ。 人 (2)小物体が点Bを通過するための の条件を求めよ。 Um 0.0& m Vo センサー 14 円運動では,地上から見てる 解くか、物体から見て解く かを決める。 解答 (1) Cでの小物体の速さを [m/s] とすると, 力学的エネルギー 保存の法則より, Bmgcose N C 1 1 ,2= mvo mv+mg(r+rcost) ① 地上から見る場合 2 遠心力は考えず,力を円の 半径方向と接線方向に分解 し円運動の半径方向の運 動方程式を立てる。 ゆえに、 cos00 mg ......① 12 m-=F r または mrw²=F ② 物体から見る場合 遠心力を考え、力を円の半 径方向と接線方向に分解し, 半径方向のつり合いの式を 立てる。 ※どちらでも解ける。 ● センサー 15 v= vv-2gr(1+cos0)[m/s] 垂直抗力の大きさを N[N] とすると, 地上から見た円運動の運動方程式は, v² m =N+mg cose r これを代入し、整理すると, 2 mvo N= -mg (2+3cos) 〔N〕 r ......② 別解 小物体から見ると, 円の半径方向にはたらく力は、実際 にはたらく力のほかに、円の中心から遠ざかる向き に遠心力がはたらいている。 半径方向の力のつり r 物体が面に接しているとき, 垂直抗力 N ≧0 合いより, m01.0 v² ◆N+mg cose-m - 00 (量的関係は上と同じ) (1) 水平面を重力による位置 エネルギーの基準面とする。 r 非等速円運動では、円の接線方向にも加速度があり、物体か ら見た場合、接線方向での力のつり合いを考えるためには,接 線方向にはたらく慣性力を考える必要がある。 (2)(1)より, 00 [ad] では, 0が小さくなるにつれて, 0, Nはともに減少していく。 点Bを通過するためには,点B で0かつN≧0 であればよい。 ①より, 8 = 0 を”に代 入して, v = √vo²-4gr よって, v4gr>0 ゆえに mvo また,②より 8=0をNに代入して, N= 5mg ④を比較すると, N≧0(面から離れない条件) が の条件を決めることになる。 2 mvo よって, -5mg≥0 ゆえに、r r ③④がともに成り立つためには、ひ≧√5gr 5

遠心力が抗力と同じ向きになる理由を教えてください！

(1) P N m Vo r 2 (遠心力)

最後の問題で力学的エネルギー保存の式が０以上としているのは何故ですか？

6 いろいろな運動 軌道 地球 する。 例題 50 地球の質量を M, 半径を R, 万有引力定数をGとする。 (1)地表すれすれに円軌道を描いて飛ぶ人工衛星の速さ(これを 第1宇宙速度という) と周期 T を求めよ。 (2)地表面における重力加速度gを用いて表せ。 (3)地表面から人工衛星を打ち出し,地球から無限遠方に到達させ たい。 打ち出す速度はv (これを第2宇宙速度という)以上でな ければならない。ひ を求めよ。 遠心力 (1)人工衛星の質量を とする。 (万有引力)=(遠心力) より GmM R2 心力 V₁ m R = m- R GM . 01= R T = 21- W = 2 (n=4) GmM R2 2лR R T= 2πR V₁ GM (2)(地表面での重力)=(遠心力) Vi mg = m- . v=gR R (3)打ち出した速さを v, 無限遠方での速さをu とおく。無限遠方での万有引力による位置エネ ルギーは0だから力学的エネルギー保存則より 万引力による位置エネルギ mo mv² +(-6)= mu² -mu20 R (打ち出した瞬間) ( 無限遠方) これを解いて≧ 2GM このとき R 万有引力による。 ココが 2GM(=√2vs) . 02= R ポイント) 位置エネルギーの VA m M ME -G(RW) [人工衛星を無限遠方に到達させるための条件] (運動エネルギー) + (万有引力による位置エネルギー) -18

(１)の最後のまるで囲んだTの式が分かりません

6 いろいろな運動 月軌道 0 地球 0 こする。 解 例題 50- 地球の質量を M, 半径を R, 万有引力定数をGとする。 (1)地表すれすれに円軌道を描いて飛ぶ人工衛星の速さ(これを 第1宇宙速度という)と周期Tを求めよ。 (2)地表面における重力加速度g を用いて表せ。 (3)地表面から人工衛星を打ち出し,地球から無限遠方に到達させ たい。 打ち出す速度はv2 これを第2宇宙速度という) 以上でな ければならない。 v2 を求めよ。 (1)人工衛星の質量を とする。 (万有引力)= (遠心力) より GmM R2 =m- R GM . 01= R 2πR R T= 2πR V₁ GM T = 2 mM R2 m- m R J (2)(地表面での重力)=(遠心力) mg = m- R 2 . V₁ =√gR (3)打ち出した速さを v, 無限遠方での速さをu とおく。 無限遠方での万有引力による位置エネ ルギーは0だから力学的エネルギー保存則より 万引力による位置エネルギ 2 m+(cm)=1/2mu² ≧ 0 R (打ち出した瞬間) ( 無限遠方) とこのとき 万有引による mo m これを解いて v≧ 2 GM R V2= 2GM (=√202) R 位置エネルギーの M -R ココが (ポイント) [人工衛星を無限遠方に到達させるための条件〕 (運動エネルギー) + (万有引力による位置エネルギー) ≧0

これがいまいち想像できなくていつも間違えてしまうのですが、どなたか解説お願いします🙏

解説 地球を南北方向 (経線) で切った断面の形は,ほぼ 楕円形になる。 地球を東西方向 (緯線) で切った断 面の形は,ほぼ円形になる。

最後の問題でどうして張力が最もおおきくなるのがＢってわかるんですか？

2 cos 8-1 これよりcos-1212 すなわち、0- 62 5 (1)/2gR[m/s] (2) 3mg [N] (3) mo(1+2R) (N) (4) r R (5) 6mg [N] (2)と(3)は、おもりの速さは等しく,円運動の半径が異なる。 (4)は最高で、おもりの速さが0より大きく、かつ糸の張力が0以 上であればよい。 (5)はA~B~C間の運動で最も張力が大きい瞬間を考 える。 解説 (1) 求める速さを [m/s] とする。 AB間で力学的エネルギー 保存の法則より。 糸 62 (1) 最下点Bを薫 による位置エネルギーの 準面と考える。 (5) mgR==mv2 これより、B=√2gR [m/s] (vg<0 は不適) F=m =2mg (2) 点Bを通過する直前のおもりにはたらく遠心力 F[N] は, DB2 (2)3) センサー12 センサー 14 R- R 遠心力を考えて,鉛直方向の力のつり合いより求める張力 の大きさを T[N] とすると, TB T-mg-F=0 Fを代入して, T= mg +2mg=3mg[N] (3) 点B を通過した直後のおもりにはたらく遠心力F' 〔N〕は, UB F'=m- -= 2mg r R r 求める張力の大きさを T' [N] とすると, (2) と同様に考えて T' -mg-F' =0 F' を代入して, T=mg+2mg/L=mg (1+2R) [N] mg/(1+ VB mg (4)点Cでのおもりの速さをvc[m/s] とする。 AC間で力学的 (4) Bを重力による位置エ エネルギー保存の法則より、 ネルギーの基準面と考える。 mgR=m mvc+mgx2r これより, vc = √2g (R-2r) (vc<0 は不適) vc>0より,2g(R-2r)>0 これより< ...... ① 2 点Cでおもりにはたらく遠心力 F”〔N〕は, F = m² = 2mg (-2) R r 遠心力を考えて,鉛直方向の力のつり合いより、点Cでの 糸の張力の大きさを T” 〔N〕 とすると, T" + mg-F" = 0 第Ⅰ部 様々な運動 F" T mg P D

高二物理、円運動です。(2)で向心力を考えないのは何故ですか。よろしくお願いいたします。

台車が高さんの地点から静かに出発して、図のように,鉛 直面内にある半径rのなめらかな円形のレールを一周する。 台車の質量をm, 重力加速度の大きさをgとする。 @ (1) 円形のレールの最高点Pを通過するとき,台車の速さ ◎”を求めよ。 (2) 点Pで, 台車がレールから受ける垂直抗力の大きさNを求めよ。 (3) 台車がレールからはなれずに一周するための, 高さんの最小値を求めよ。 指針 鉛直面内の円運動では,各瞬間において,円の中心方向における力と加速度との関係は, 等速円運動と同様に考えることができる。 Nについて整理し, (1) の”を代入すると, 2h 2g(h-2r)_mg -5) r ・m 解 (1) 出発点と点Pにおいて, 台車の力学的エネルギーは保存される。 レールの最下点を重 力による位置エネルギーの基準とすると. mgh = 1/2 m -mv²+mg x2r v2=2g(h-2r) <0は不適なので, v=√2g(h-2r) (2) 台車とともに運動する観測者には, 図のように, 台車にレール からの垂直抗力N, 重力 mg, 遠心力 m がはたらき, 円の中 02 r 心方向の力はつりあっているように見える。 v² mg+N-m- =0... ① r N=m r mg=mg 遠心力 m V P r 重mg P とあた向心力は 垂直抗力 N 地上に静止する観測者には, 台車に垂直抗力 N, 重力 mg がはたらき, 台車は,これらの合 力を向心力として円運動をするように見える。 中心方向の運動方程式は m-=mg+N と表され, これは式①と同じである。

・⑶についてなんで安定とわかるのか教えてください ・コリオリ力に関しては円環に束縛されているから議論が不要ということですか？

120 Part 2 109. 遠心力 運動する.さらに,この円環は,その中心Cを通る鉛直線のまわりに, 一定の角速度で回転 図のように、質量mの小球が、鉛直面内におかれた平語の円頭上に拘束されてなめらか できるものとする. 重力加速度をg, また, 円環の中心Cから円環の最下点0に向かう方向と 中心Cから小球に向かう方向との間のなす角を0 (0は図の矢印の向きを正; -m ≧0≦)とし て、この円環上に拘束された小球の運動に関する以下の問いに答えよ. 〔A〕 まず,円環が固定されて回転していない場合 (ω=0) を考える. (1) 点0から円環に沿った小球の変位の大きさが十分小さいとき, 小球の運動は点0のまわ りでの単振動とみなせる。このとき、小球の振動する周期を求めよ.ただし,角度0が十 分小さいときに成り立つ近似式 sin 0≒0を用いてよい. 〔B〕次に、円環が一定の角速度で回転している場合(ω≠0) を考える.ただし、以下の問 (2) (3) では,円環とともに回転している観測者からみたときの小球の運動について考える ものとする. (2) 角速度の大きさがある値wc より小さく,さらに, 点0から円環に沿った小球の変位 の大きさが十分小さくて小球の運動が点0のまわりでの単振動とみなせるとき, wc, お よびこのときの振動の周期を求めよ.ただし, 角度0が十分小さいときに成り立つ近似式 sin 0≒0とcos0≒1 を用いてよい。 (3) 角速度の大きさをwcより大きくすると, 円環の最下点以外の0=±0(0<br<↑の 点で小球にはたらく力のすべてがつりあう.cos , を求め, さらに、そのつりあい点が安 定か不安定かを答えよ. C 鉛直線 W 10. ......... 0 円環 小球 §2-4 慣性の法則