遠心力に関係した身近なものとしては,洗濯機や遊園地のループ式ジェットコースターなどがある。
例題15
鉛直面内での円運動
右図のような, 半径[m〕のなめらかな円筒面に向
けて,質量m〔kg〕 の小物体を大きさ [m/s] の初速
度でなめらかな水平面からすべらせる。 重力加速度の
大きさをg〔m/s'] とする。
53 58
62
B
C
P
(1) 鉛直線となす角が0の点(図の点C) を通過すると
きの, 小物体の速さと面から受ける垂直抗力の大き
さを求めよ。
人
(2)小物体が点Bを通過するための の条件を求めよ。
Um 0.0&
m
Vo
センサー 14
円運動では,地上から見てる
解くか、物体から見て解く
かを決める。
解答 (1) Cでの小物体の速さを
[m/s] とすると, 力学的エネルギー
保存の法則より,
Bmgcose
N
C
1
1
,2=
mvo
mv+mg(r+rcost)
① 地上から見る場合
2
遠心力は考えず,力を円の
半径方向と接線方向に分解
し円運動の半径方向の運
動方程式を立てる。
ゆえに、
cos00
mg
......①
12
m-=F
r
または
mrw²=F
② 物体から見る場合
遠心力を考え、力を円の半
径方向と接線方向に分解し,
半径方向のつり合いの式を
立てる。
※どちらでも解ける。
● センサー 15
v= vv-2gr(1+cos0)[m/s]
垂直抗力の大きさを N[N] とすると,
地上から見た円運動の運動方程式は,
v²
m =N+mg cose
r
これを代入し、整理すると,
2
mvo
N=
-mg (2+3cos) 〔N〕
r
......②
別解 小物体から見ると, 円の半径方向にはたらく力は、実際
にはたらく力のほかに、円の中心から遠ざかる向き
に遠心力がはたらいている。 半径方向の力のつり
r
物体が面に接しているとき,
垂直抗力 N ≧0
合いより,
m01.0
v²
◆N+mg cose-m
- 00 (量的関係は上と同じ)
(1) 水平面を重力による位置
エネルギーの基準面とする。
r
非等速円運動では、円の接線方向にも加速度があり、物体か
ら見た場合、接線方向での力のつり合いを考えるためには,接
線方向にはたらく慣性力を考える必要がある。
(2)(1)より, 00 [ad] では, 0が小さくなるにつれて, 0,
Nはともに減少していく。 点Bを通過するためには,点B
で0かつN≧0 であればよい。 ①より, 8 = 0 を”に代
入して,
v = √vo²-4gr
よって, v4gr>0
ゆえに
mvo
また,②より 8=0をNに代入して, N=
5mg
④を比較すると,
N≧0(面から離れない条件) が
の条件を決めることになる。
2
mvo
よって,
-5mg≥0 ゆえに、r
r
③④がともに成り立つためには、ひ≧√5gr
5
ありがとうございます