|3) lim an
4,>4として、新化式 a,+」=/a,+ 12 で定められる数列(a,)を考える。
に対して、不等式a,>4が成り立つことを示せ。
(2) n=1, 2,3,
に対して,不等式 an+1
-4<(a,-4)が成り立つことを示せ。
を求めよ。
解説)
(1) 数学的帰納法で証明する。
a,>4
とする。
[1] n=1のとき, a,>4よりn=1のとき①は成り立つ。
[2] n=kのとき①が成り立つと仮仮定すると。
a>4
n=k+1 のとき
=+12-4>V4+12-4=0
よって
a+1>4
したがって、n=k+1 のときも①は成り立つ。
[1], [2] から,n==1, 2, 3,
·に対して, ① は成り立つ。
Cn+1-4=Va,+12-4
(Va,+12)-4°
Va,+12 +4
1
Ta+12 +4 "(4,-4) 2
(1)より a,>4 であるから
Va,+12 +4>V4+12 +4=8
1
Va,+12 +4 8
また
a,-4>0
これらと②から
an+1-4<
(a月ー4)