Question

ぴひょ

整数
（3）の解き方がしっくり来ません。背理法の方針を立てたあと、どうやってこんな考え方を思いつくのか想像がつかないです。解説をお願いします。

2 次の問に答えよ。
(1) 整数α. βの少なくとも一方が奇数のとき, '+αβ + β' は奇数であ
ることを示せ。
(2) n を奇数とする。 このときα²2+αβ+B2=2n をみたす整数 α, βは存
在しないことを示せ。
(3) cを実数とする。このとき3次方程式x2018x+c=0の解のうち整
数であるものは1個以下であることを示せ。

名古屋大・文系前期
「2」
発想 (1) は,α. Bがともに奇数のときと､一方が奇数で他
方が偶数の場合を考えればよい。
(2)は,(1)の場合か、またはα、Bがともに偶数の場合で､すべ
てを尽くしている。
(3)は背理法が自然だろう｡
2018年度(解) 67
βがともに奇数のとき.. ul. ほいずれも奇数とな
り、'+αB+f' は奇数である。
が奇数､βが偶数のとき, v2 は奇数, cB,B' はいずれも偶数となり、
' + B+B は奇数である。
が偶数、βが奇数のときも同様である。
以上から.α.βの少なくとも一方が奇数のとき. a+uB+ 82 は奇数であ
(証明終)
.βの少なくとも一方が奇数のとき, (1) から^'+αB+B は奇数で
ある。
βがともに偶数のとき, α=2d',B=2ρ' (d', B'′ は整数)と表され、
α,
このとき
ρ°+αB+B'=(2a)'+2ω'・2ρ'+(2ρ`)
= 4(q^2+d'B'+B^2) ( 4の倍数)
以上ですべてを尽くすので,u'+αB+B'=2n(nは奇数)となることは
ないすなわち、与えられた条件をみたす整数 α, βは存在しない。
( 証明終)
(3) 与えられた方程式の解のうち整数であるものが2個以上あると仮定し
して、矛盾を導く。
2個の整数解をα,β (α=β) とおくと
α-2018a+c=0
B-2018β+c=0
が成り立ち、辺々引くことにより
(a³-B²)-2018(a-B)=0
(a-B)(a²+aB+B²-2018)=0

名古屋大文系前期
68 2018年度 数学<解答>
α = B から α-B≠0 であり,よって
Q²+ab+p2-2018=0
a²+ab+B2=2・1009
(2) から,これをみたす整数 α βは存在せず, はじめの仮定に矛盾する。
したがって与えられた方程式の解のうち整数であるものは1個以下であ
る。
( 証明終)
S

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

化学弱者

納得できないかもだけど、
誘導なしでカッコ3は解けるわけないじゃないですか。だからカッコ1またはカッコ2がヒントかなっていうのをまず考えてみる。
するとaの二乗＋ab＋bの二乗がどっかで見たことあるかもってなります。あ、三乗−三乗を因数分解したやつだ！となります。
それにカッコ3に3乗が出てきるやん！みたいにも思います。
じゃあこの3次方程式を使って三乗−三乗を作るのだろうか。　という結論に至る。
結果論だけど大学が求めてるのはこういう解法だと思う。
ヒントは散りばめられているからそれらの要素を駆使して答えを導く。でも、そこまでに至る思考力が必要。
だから、思いつく　が出来るようになるためには1日1問でもいいからとにかく経験を積んで感覚を鋭くする。これが1番大事だと思います。継続は力なり
です。

化学弱者

さっきは教えてくれてありがとね！

ぴひょ

なるほど、指摘されると確かにそれっぽい形が見えます。三次方程式だから解が3個あるんじゃないかという意識に引っ張られてた気がします。慣れてもいなかったです。ありがとうございます！

ぴひょ

さきほどはおじゃましました。こちらこそ、ご丁寧にありがとうございます🙏

Answer 2

K

まず、大学入試の問題は、誘導を疑いましょう。
1個以下の否定は、2個以上。ということは、
2個以上の解が存在しないことを示せばよい。
［1次式］×［(2)の形］の形に変形して、
［(2)の形］の解が存在しないことを、
(2)を利用して証明する。

ぴひょ

三次方程式の解が3つあってほしいという意識に引っ張られていた気がします。背理法も自分のものにできてませんでした。ありがとうございます。