Question

寧々

漸化式と極限の問題について質問です。
(2)までは解けたのですが、(3)が解説を読んでもいまいち分かりません。
赤枠部分の考え方を教えていただきたいです。
また、最後のlimの計算はlimを分配しているのでしょうか？
回答よろしくお願いします🙇‍♀️

|3) lim an
4,>4として、新化式 a,+」=/a,+ 12 で定められる数列(a,)を考える。
に対して、不等式a,>4が成り立つことを示せ。
(2) n=1, 2,3,
に対して,不等式 an+1
-4<(a,-4)が成り立つことを示せ。
を求めよ。
解説)
(1) 数学的帰納法で証明する。
a,>4
とする。
[1] n=1のとき, a,>4よりn=1のとき①は成り立つ。
[2] n=kのとき①が成り立つと仮仮定すると。
a>4
n=k+1 のとき
=+12-4>V4+12-4=0
よって
a+1>4
したがって、n=k+1 のときも①は成り立つ。
[1], [2] から,n==1, 2, 3,
·に対して, ① は成り立つ。
Cn+1-4=Va,+12-4
(Va,+12)-4°
Va,+12 +4
1
Ta+12 +4 "(4,-4) 2
(1)より a,>4 であるから
Va,+12 +4>V4+12 +4=8
1
Va,+12 +4 8
また
a,-4>0
これらと②から
an+1-4<
(a月ー4)

(3) (2) の不等式を繰り返し用いると
1
0<a,-4<
一かく信)0ュー)
も1-1
く.
8
よって
1\n-1
0<a,-
8
ここで, lim
8
1\n-1
(a,-4)=0 であるから, はさみうちの原理より
n→0
lim (a,-4)3D0
リー→O
ゆえに
lim a, =4
n-→0

極限 漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

けい

an-4=1/8(an-1-4)が成り立つとき
an-1-4= 1/8(an-2-4)が成り立ちますよね。（nをn-1に置き換えただけ）
この二式を合わせると赤枠線の四つめの項ができます。
これを繰り返して行って…ってことです
高校2年生？後期受験生？なのかわかりませんが継続して勉強してて自分もモチベをもらってます！
頑張ってください！

寧々

教えていただき、ありがとうございます。
an_-1-4を代入すればいいんですね！納得しました。

応援の言葉、ありがとうございます。
高校２年生です。もうすぐ3年生なので後悔しないように全力を尽くしたいと思っています。
いつも回答してくださる皆様に感謝です🙇‍♀️