xについての二次方程式までは式を整理できたのですが、その後に「この二次方程式が実数解を持つための条件は〜」の発想にいくのが、次にこの問題を解くときに思い浮かべられる自信がありません。どういった考え方をしたら次解くときに実数解を持つ条件を思い浮かべられるようになりますか。 そ... 続きを読む

重要 例題 1222 変数関数の最大・最小 (4) 203 00000 実数x,yが x2+y2=2 を満たすとき,2x+yのとりうる値の最大値と最小値を | 求めよ。 また, そのときのx,yの値を求めよ。 [類 南山大 ] 基本 101 条件式は文字を減らす方針でいきたいが、条件式x2+y2=2から文 字を減らしても, 2x+yはx,yについての1次式であるからうま くいかない。 そこで, 2x+y=t とおき,tのとりうる値の範囲を調べることで, 最大値と最小値を求める。 -> 2x+y=t を y=t-2x と変形し, x2+y2=2に代入してyを消 去するとx2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。 xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。 実数解をもつ⇔D≧0 の利用。 見方をかつ える 3 3章 13 1 2次不等式 CHART 最大・最小=t とおいて、 実数解をもつ条件利用 2x+y=t とおくと y=t-2x ...... (1) 解答 これを x2+y2=2に代入すると x2+(t-2x)2=2 整理すると COPIQE このxについての2次方程式② が実数解をもつための 条件は、②の判別式をDとすると D≧0 5x2 -4tx+t2-2=0 (2) ここで 4 D=(-2t)2-5(t2-2)=-(t2-10) D≧0 から t2-10≤0 >> 参考 実数a, b, x, y に ついて,次の不等式が成り 立つ(コーシー・シュワル ツの不等式)。 (ax+by)²≤(a²+b²)(x²+y²) [等号成立は ay=bx] この不等式に a=2,b=1 を代入することで解くこと もできる。 028- これを解いて -√10 ≤t≤√10 t=±√10 のとき, D=0 で, ② は重解 x=-- -4t 2t = 2.5 5 を もつ。 =±√10 のとき x=± 2/10 5 のとき, ② は t=±√10 5x2+4√10x+8=0 よって (√5x=2√2) 20 またはBA ①から y=± √10 (複号同順) ゆえに 5 2√2 2/10 x=± 210 よって V 10 -=± √5 5 x= y= のとき最大値10 5 5 ①からy= 10 5 2/10 √10 x=- y=- のとき最小値√10 (複号同順) また 5 5 としてもよい。

2次不等式の問題です。2枚目の写真と3枚目の写真のa>-3,a≦-3で場合分けすることろまでは解けたのですが、それぞれ数直線を使って範囲を求めるところが分からないので解説お願いします。

xについての2つの2次不等式 x²-2x-8<0, x2+(a-3)x-3a≧0 を同時に満たす整数がただ1つ存在するように, 定数 αの値の範囲を定めよ。 n318 F

高一数1 青チャート 二次関数 付箋の質問に答えていただきたいです。よろしくお願いします。

210 基本 00000 127 放物線とx軸の共有点の位置 (2) 2次関数y=x-(a+3)x+αのグラフが次の条件を満たすように、定数αの値 の範囲を定めよ。 (1) ・軸のx>1の部分と異なる2点で交わる。 ・軸のx>1の部分とx<1の部分で交わる。 指針 (2)( 基本126 ここでは0以 前の例題ではx軸の正負の部分との共有点についての問題であった。 外の数々との大小に関して考えるが, グラフをイメージして考える方針は変わらな い。 (1) D0. (軸の位置)>1, j(1)>0 を満たすように、定数αの値の範囲を定める。 (2) f(1)<0 基本例 1282次方程式の解と数の大小 (1) 00000 2次方程式-2(a+1)x+34=0が, -1x3の範囲に異なる2つの実数解を もつような定数の値の範囲を求めよ。 [類 東北大]基本 126 127 130 指針 2次方程式(x)=0の解と数の大小については、y=f(x)のグラフとの共有点の 位置関係を考えることで、基本例題 126 127 で学習した方法が使える。 ★ すなわち, f(x)=x^2(a+1)x+34 として 2次方程式(x)=0)が1x3で異なる2つの実数解をもつ 放物線y=f(x)がx軸の16x3の部分と、 異なる2点で交わる したがってD>0, -1 < (軸の位置) <3(-1)≧0 (3) 20で解決。 211 CHART 2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D..∫(k) に着目 ③ のみか? b f(x)=x-(a+3)x+α²とし, 2次方程式f(x)=0の判別式をDとする。 af である。 解答 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で, その軸は直線x= (1) y=f(x) のグラフがx軸のx>1の部分と異なる2 点で交わるための条件は、次の [1] [2] [3] が同時 に成り立つことである 20 [(軸)>1] この方程式の判別式をDとし, f(x)=x2(a+1)x+3a 解答とする。 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で、その軸は 直線x=α+1である。 ② 33 65 21軸がx>1の範囲にある 0 1 +3 よって =-3(a+1)(a-3) -1<a<3 DP [3]f(1)> [1] D=f-(a+3)}-4・1・α°=-3(α-24-3) D0 から (a+1) (a−3) <0 [2] 軸x=aについて 2 ゆえに a+3>2 すなわち 4>1 [3] f(1)=12-(a+3) ・1+α²=a-a-2=(a+1) (a-2) f (1) > 0 から a<-1, 2<a ...... ① a+3 1 ① ② ③ の共通範囲を求めて ...... ③ 2<a<3 (2) y=f(x) のグラフがx軸のx>1の部分とx<1の 部分で交わるための条件は ゆえに (a+1) (a-2) <0 すなわち -1<a<2 (1)<0 注意 例題 126, 127 では 2次関数のグラフとx軸の共有点の位置 -1 a 0 x O に関する問題を取り上げたが、 この内容は, 下の練習 127 の ように, 2次方程式の解の存在範囲の問題として出題されることも多い。 しかし 2次方程 式の問題であっても, 2次関数のグラフをイメージして考えることは同じである。 練習 2次方程式 2x2+ax+α=0が次の条件を満たすように, 定数 α の値の範囲を定めよ。 ② 127 (1) ともに1より小さい異なる2つの解をもつ。 (2)3より大きい解と3より小さい解をもつ。 方程式 f(x)=0が1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数 指針」 解をもつための条件は, y=f(x) のグラフがx軸の -1≦x≦3の部分と、 異なる2点で交わることである。 すなわち、次の [1] ~ [日が同時に成り立つことである。 D> 0 [21 軸が-1 <x<3 の範囲にある [3] (-1)≥0 [4] (3)≥0 [1] 41=(-(a+1)-1・3a=a-a+1= (a-212)1+1/20 よって, D>0は常に成り立つ。 (*) [2] 軸x=α+1について -1<a+1<3 すなわち -2<a<2 ...... ① [3] f(-1)≧0から (-1)-2(a+1)(-1)+3a≥0 (127(1),(2)(128について、 (27(1)、128のように 3 の方針。 2次方程式についての間 題を 2次関数のグラフ におき換えて考える。 この問題では, D の符号、 軸の位置だけでなく、区 間の両端の値(-1). /(3)の符号についての 条件も必要となる。 __1() <3 35 12次不等式 [(27(2) [1][2][3]確かめ D,軸、f(F)を考えるときと、☆ (27(土)のように f(k)のみ(D.軸は考えない) 問題はどのように見分ければ たり、 128 を[3][4]だけ 確かめたり、 でも良いのではないか? と思ってしまいました。 良いですか?☆の3要素が重要な区別の仕方を教えて 下さい! 親は分かるのですが、

この問題で「tの範囲を求めること＝2x+yの最大値、最小値を求めること」と言うのはわかったのですが、二つわからないところがあります。 一つ目はどうして②の式がxのニ次方程式なのですか。tは定数なのですか？ではどうしてtは定数なのでしょうか… 二つ目はニ次方程式の判別式を使っ... 続きを読む

重要 例題 122 2 変数関数の最大・最小 ( 4 ) 203 実数x,yが x+y2=2 を満たすとき,2x+yのとりうる値の最大値と最小値を | 求めよ。 また, そのときのx, yの値を求めよ。 [類 南山大 ] 基本 101 条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y2=2から文 字を減らしても, 2x+yはx, yについての1次式であるからうま くいかない。 そこで, 2x+y=t とおき, tのとりうる値の範囲を調べることで, 最大値と最小値を求める。 ← 2x+y=t を y=t-2xと変形し, x2+y2=2に代入してyを消 去するとx2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。 xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。 実数解をもつ⇔D≧0 の利用。 見方をか CHART 最大 最小 = tとおいて、 実数解をもつ条件利用 3章 13 12次不等式 2x+y=t とおくと y=t-2x ① 解答 これをx2+y2=2に代入すると x2+(t-2x)2=2 整理すると 5x2 -4tx+t2-2=0 このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための 条件は,②の判別式をDとすると D≧0 参考実数a, b, x, y に ついて,次の不等式が成り 立つ(コーシー・シュワル (+7)=gツの不等式)。 (2) COMO (ax+by)≤(a²+b²)(x²+y²) ここで D=(-2t)2-5(2-2)=(t-10) [等号成立は ay=bx] この不等式に a=2,b=1 ト) を代入することで解くこと もできる。 D≧0 から t2-10≤0 <x これを解いて -√10 ≤t≤√10 t=±√10 のとき,D=0 で, ②は重解 x = -4t=. 2t を のとき,②は t=±√10 2.5 5 もつ。=±√10 のとき x=± 2√10 5 √10 ①から y=± (複号同順) 5 x=± 210 10 よって x= y= のとき最大値 10 5 5 x=- また、 2/10 5 10 y=-- のとき最小値√10 5x2 +4√10x+8=0 よって<A (√5x+2√2)²=0 ゆえに 2√2 2/10 =± √5 ① から y=± 5 (複号同順) 5 √10 5 としてもよい。

この問題の場合分けのところなのですが、各場合分けの答えを出した後に「これはa<1を満たす」と言ったような文言が解答にないのはどうしてですか？

と、次の 3 3章 13 1 2次不等式 重要 例題 120 連立2次不等式が整数解をもつ条件 000 xについての不等式x2-(a+1)x+α <0,3x2+2x-1>0を同時に満たす整数x がちょうど3つ存在するような定数 αの値の範囲を求めよ。 t [摂南大〕 基本 37 117 ①まず,不等式を解く。不等式の左辺を見ると、2つとも因数分解ができそう。 なお,x2-(a+1)x+α <0は文字αを含むから, αの値によって場合を分ける。 ②数直線を利用して、題意の3つの整数を見定めてαの条件を求める。 CHART 連立不等式 解のまとめは数直線 x2-(a+1)x+a<0 を解くと (x-a)(x-1)<0 から α <1のとき a<x<1 α=1のとき 解なし α>1のとき 1<x<a ① 3x2+2x-1>0を解くと (x+1)(3x-1)>0から x<-1.1/23<3 ①,②を同時に満たす整数x がちょうど3つ存在するの は α <1 または α>1 の場合である。 [1] α <1 のとき 3つの整数xは x=-4, -3, -2 [1] (2) -51-4-3-2-1011 1α=1のとき,不等式は (x-1)20 これを満たす実数 x は 存在しない。 実数 A に対し A2≧0 は 常に成立。 A'≦0 なら A = 0 A°< 0 は 不成立。 基本 解答 0は2枚 なお、 別するた している。 よって -5≤a<-4 a [2] α>1のとき [2] a 8 3 13 2 x x <-5<a<-4としないよ うに注意する。 a<x<-1の範囲に整数 3つが存在すればよいか ら, a=-5のとき, -5<x<-1となり条件 を満たす。 ●3 4 3つの整数xは よって x=2,3,4 4 <a≦5 [1], [2] から, 求める α -1 0 1 2 113 の値の範囲は -5≦a<-4,4<a≦5 +5 [2]のα=5のときも同 様。 (01-)=(x2) 不等号にを含むか含まないかに注意 検討 上の例題の不等式がx2-(a+1)x+α ≦ 0, 3x2+2x-1≧0 となると, 答えは大きく違ってく る (解答編 p.96 参照)。 イコールがつくとつかないとでは大違い!!

写真の線で引いている部分なぜ符号の向きが変わってるんですか？でも下の問題は符号の向き変わってないですよね教えてください

次の2次不等式を解け。 1) (x+5)(x+3)>0 x=-51-3 ゆく-511-3 (3)x+8x-920 (x-xxxx19) ca 9 0 イトミル

（2）で、最後の「xは任意の実数」の部分で、私は「xはすべての実数」だと思いました。何が違うのですか？ 教えてください。

例題 3-2 次の2次不等式を解け (1) 2x2+3x-3<0 1個 x 2 + x + 4≧0

二次方程式の質問です 解の一つである1と-1の時を考えるのはなぜですか？解説を読んでもよくわかりません

214 重要 例題 130 2次方程式の解と数の大小 (3) 00000 *Fix€x²+{2_a}x+4=2a=0&t=1 <x<10>}{}\ 解答 をもつような定数αの値の範囲を求めよ。 128, 1 指針 条件が 「-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」であることに注意。 大きく分けて次のA B の2つの場合がある。 A-1<x<1の範囲に,2つの解をもつ (重解は2つと考える) ® -1 <x<1の範囲に、ただ1つの解をもつ 方程式の2つの解をα, β (α≦β) として,それぞれの場合につ いて条件を満たすグラフをかくと図のようになる。 ®は以下の4つの場合がありうるので注意する。 ® [2] + a 1 B x または a -1<x<1 の範囲に1つ, <-1 または 1<x の範囲に1つ x= 2 である。 + 81 x ® [3] A [1] + 1<x<1 の範囲に2つ ® [4] a=―1 + + 1 x x=-1と1<x<1 の範囲に1つ -1 a B=1 x=1と1<x<1 の範囲に1つ 2-a x=- 2-1 204 a3 ①~④の共通範囲を求 21 解の1つが1<x (-a+3)(- または1<xにあるため ゆえに よって (a-3)(3a [3] 解の1つがx= (-1)=0から このとき、方程式は よって (x+1)(x ゆえに,解はx=- [4] 解の1つがx=1 f(1)=0 から このとき、方程式 よって (x-1) ゆえに、解はx=- 求めるαの値の範囲 2≦a< f(x)=x2+(2-a)x+4-2a とし, 2次方程式 f(x) =0 の 判別式をDとする。 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線 a-2 [1]2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条 件は,y=f(x) のグラフがx軸の1<x<1の部分と異 なる2点で交わる, または接することである。 すなわち,次の (i)~ (iv) が同時に成り立つことである。 (i) D≧ 0 (ii) 軸が-1<x<1の範囲にある (iii) f(-1)>0 (iv) f (1) > 0 (i) D=(2-α)-4・1・(4−2a) =a+4a-12=(a+6)(a-2) D≧0 から (a+6)(a-2)≥0 ゆえに am-6,2≦a ...... ① (x=472 について -1<> 2 <1 よって ゆえに -2<a-2<2 0<a<4 ...... ② (i) f(-1)=-a+3であるから よって a <3 条件は 「少なくとも1つ」 であるから,y=f(x 定数分離による解法 この問題は、方程式 もう)、2つのグラフが ONE Bx²+(2-a)x 方程式(*)が一 y=x^2+2x+4.. が1<x<1の と同じである 2点(2, ②が点(-1, ②がと グラフがx軸に接する 場合,すなわち, D= の場合も含まれる。 [1] -a+3>0 8-1 軸 ID=0 ついて D=0 図からa>0, la=2のとき よって、① は、グラフカ 130 つような定 方程式

6.7の解き方を教えてほしいです

6 2次不等式 -2x2+ax+b>0の解が -1<x< 2 となるように, 定数 α, bの値を定めよ。 20 7 2次関数 y=x2-2ax+α において, yの値が常に正であるように, 定数αの値の範囲を定めよ。

数Iの二次不等式の質問です なぜこの方程式がじつ数回をもつ条件を利用して解くのか理解できないです

重要 例題 1222 変数関数の最大・最小 ( 4 ) 000 小値、およ 実数x, y が x2+y2=2を満たすとき,2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。また,そのときのx, yの値を求めよ。 思い出 203 [類 南山大 ] 基本 101 指針 条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y2=2から文 字を減らしても, 2x+yはxyについての1次式であるからうま くいかない。 見方をか そこで, 2x+y=t とおき, tのとりうる値の範囲を調べることで, 最大値と最小値を求める。 →2x+y=t を y=t-2x と変形し,x2+y2=2に代入してyを消 去すると x2+ (t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。 xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。 実数解をもつ⇔D≧0 の利用。 CHART 最大・最小 =t とおいて,実数解をもつ条件利用 13 3章 15 2次不等式 2x+y=t とおくと y=t-2x ① 二もに2枚 これをx2+y2=2に代入すると 解答 式は 整理すると x2+(t-2x)=2 5x2-4tx+t2-2=0 k, yth g-s+x)= ONCE + Sy このxについての2次方程式② が実数解をもつための 条件は、②の判別式をDとすると D≧0 参考実数a, b, x, y に ついて,次の不等式が成り 立つ(コーシー・シュワル ツの不等式)。 (ax+by)²=(a+b²) (x² + y²) [等号成立は ay=bx] この不等式に α=2,6=1 。 ここで D=(-2t)2-5(2-2)=-(f2-10) (ハース)を代入することで解くこと できる。 D≧0 から t2-10≤0 >> これを解いて -√10 ≤t≤√√10 す。 -4t 2t t=±√10 のとき, D=0で,②は重解 x=- を のとき,②は t=±√10 2.5 5 5x2+4√10x+8=0 2√10 もつ。=±√10 のとき x=± 5 よって (√5x+2√2) 20 ①から y=± √10 (複号同順) 5 2/10 よって x= y= 5 √10 のとき最大値 10 5 2/10 √√10 x=- y=- のとき最小値10 ①からy=± (複号同順) ゆえに x=± =± 2√2 2/10 √5 5 √10 5 5 5 としてもよい。