Question

波瑠

数列の問題です。(1)は解けて、(2)の青線までは解けたのですがそれ以降の解説が理解出来ないので解説お願いします。

第10項が 168,第 25項が408 である等差数列について,次の問いに答えよ。
(1) 1000 は第何項か。
(2)
初項から第何項までの和が初めて1000より大きくなるか。

23 この数列の初項を α, 公差をd とすると,
第n項an は an=a+(n-1)d
第10項が168 であるから
a +9d=168
第 25 項が 408 であるから
①
(1)
a +24d = 408
......
②
①,② を解いて
a=24, d=16
よって an=24+(n-1) ・16=16n +8
16n+8=1000
=1000とすると
よって
n=62
ゆえに, 1000 は第62項である。

(2)初項から第n項までの和は
1/12m(2.24+(n-1).16)=8m(n+2)
8n(n+2)> 1000 から
n(n+2)125
③
nは自然数であり, "が増加すると n(n+2) も増
加し, 1012=120, 11.13=143であるから, 初
項から第11項までの和が初めて1000より大き
くなる。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

n(n+2)＞125を満たすnを求めています。
2次不等式なので真面目に展開してn²+2n-125＞0とし、解の公式を使えば解けるのですが、そこまでする必要はないです。なぜならnは自然数しかとらないからです。大雑把に解いて、あとはゴリ押し代入で調べていけばよいのです。
n(n+2)は、nを2回かけたn²よりは少し小さいことがわかります。n²=125のとき、n=5√5でだいたい5×2.2=11くらいなので、答えは11よりは大きいと推測できます。
そこでn=11としてみると、n+2=13なので、11×13=143となります。これは125より大きいですね。ざっくり計算ではありますが、nを1落としたn=10だと10×12=120なのでn=11が正しい答えだとわかります。このような概算の感覚も身につけられると良いです。

波瑠

理解出来ました。解説ありがとうございました。