この問題の判別式の使い方(？)が分かりません この2問の解説お願いします🙇‍♀️

基本 例題 115 常に成り立つ不等式 (絶対不等式) (1) すべての実数x に対して,2次不等式x+(k+3)x-k>0が成り立つよう な定数kの値の範囲を求めよ。 (2)任意の実数xに対して,不等式 ax-2√3x+α+2≦0が成り立つような定 p.187 基本事項 G 数αの値の範囲を求めよ。

任意の実数Xというのは、すべての十数Xと同じ意味なんですか？？

14 基本(例題 115 常に成り立つ不等式(絶対不等式) 00000 (1) すべての実数x に対して, 2次不等式x2+(k+3)x-k>0が成り立つよう な定数kの値の範囲を求めよ。 (2)任意の実数xに対して、不等式 ax²-2√3x+a+2=0が成り立つような定 数αの値の範囲を求めよ。 p.187 基本事項 指針左辺をf(x)としたときの,y=f(x) のグラフと関連付けて考えるとよい。 (1) f(x)=x2+(k+3)x-k とすると, すべての実数xに対してf(x)>0が成り立つのは y=f(x) のグラフが常にx軸より上側 (y>0の部分)に あるときである。 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, グラフが 常にx軸より上側にあるための条件は, x軸と共有点をも たないことである。 よって, f(x) =0の判別式をDとする と, D<0 が条件となる。 y=f(x) f(x)の値が常に正 X D<0はんについての不等式になるから,それを解いてkの値の範囲を求める。 (2)(1) と同様に解くことができるが,単に 「不等式」 とあるから, α=0 の場合 (2次 不等式でない場合) と α≠0の場合に分けて考える。 40の場合αの符号によって,グラフが下に凸か上に凸かが変わるからにつ いての条件も必要となる。また,不等式の左辺の値は0になってもよいから、グラ フがx軸に接する場合も条件を満たすことに注意する。 CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連付けて考える (1) f(x)=x2+(k+3)x-kとすると, y=f(x) のグラフ f(x)のx2の係数は正 あるから、下に凸。 解答 は下に凸の放物線である。 よって すべての実数xに対してf(x)>0が成り立つた 指針...... めの条件は,y=f(x) のグラフが常にx軸より上側にあ る,すなわち,y=f(x) のグラフが共有点をもた ないことで 不等式が成 の方針 相

数学 絶対値 場合分け 手書きですみません。共通部分を答える問題です。 場合分けをした時に、(ⅰ) (ⅱ)のようになりました。 そこで、共通部分を見るために 数直線を書いたら画像のようになり、 私は0≦X<6 と回答しましたが 答えは、X<6 でした。 =のついた黒丸... 続きを読む

(1) 0≤x-b {i}x<O → A &<6 6

絶対不等式の基本事項の1番について 、 a - b が正の数×正の数で表せると書いてありますが、 負の数×負の数でもできるんでしょうか?例えば a - b が2であった場合は （-1 ）×（-2）となるような感じです。

PART I {基本事項* §1 絶対不等式 1.A>B 不等式A>Bを示すには,A-B> を示せばよい。このとき, A-B=(正の数)+(正の数) A-B=(正の数)×(正の数) A-B= (実数)2+ (正の数) などの形に変形することが多い. 2.対称形の絶対不等式 a, b, cが実数のとき, 次の不等式が成り立つ. (1) a²±ab+b² ≥0 (2)²+62+2-ab-be-ca≧0 3.相加平均と相乗平均 a b c を正の数とするとき ath ≧ Vob (等号はa=bのとき成立) 2 a + b + c 3 abc (等号はa=b=cのとき成立) が成り立つ

二次不等式の質問です。 （1）はなぜ最後の答えがa <0、8<aではなく0<a <8なのですか？　 また、（2）はなぜ最後の答えが−3/1<＝k <＝1ではなくk <＝−3/1になるのですか？ 質問が長くなってしまいごめんなさい🙇‍♀️🙇‍♀️

ここ D<0 から, 求めるαの (2) kx2+(k+1)x+k≦0 ① とする。 [1] k=0 のとき, ① は x≤0 類で、 これはすべての実数xに対しては成り立たない。 つ [2]k0 のとき 2次方程式 kx2+(k+1)x+k=0 の判 だけ ① 別式をDとすると,すべての実数xに対して①が成 り立つための条件は 考 k<0 かつ D≦0 0 (2)[2] < ここで D=(k+1)2-4・k k=-3k2 +2k+1 軸と =-(3k+1)(k-1) S D≦0 から (3k+1)(k-1)≧0 いまた る条件と [2] よって k≤ -11, 1≤k <0との共通範囲をとると k≤- 以上から、 求めるkの値の範囲は k VII 1-3 113

次の問題で参考のところの言っている意味はわかるのですが問題となるとよく分からないのですがどうすれば良いのでしょうか？

基礎問 80 第3章 2次関数 47 絶対不等式 (I) 1 をみたすすべての』について,r+α≧0 が成り立つよう なαの値の範囲を求めよ. すべてのェに対して成りたつ』の不等式を絶対不等式といいます。 このとき、次のように考えます. 関数 f(x) が最小値 mをもつとき, すべてのxについて f(x)≧0m≧0 (もし, f(x)>0 なら, m>0です) この考え方は我々の生活の中でも使われます. あるクラスのテスト で、先生が 「全員30点以上」 でなければ,「全員居残り学習」 と言 ったとすると、ある特定の生徒に視線が集まります. その生徒はク ラスでビリ (=点数が最小値) のはずです. すなわち,ビリの生徒が30点をクリアすれば,全員居残り回避です. 解答 f(x)=x+α (r≧1) とおくと, 31 y=f(x) y=f(x)は右上がりの直線だから, 最小値はf(1) = a +1 よって, a +1≧0 a+1 am-1 0 1 ポイント すべてのェに対して、f(x)≧k が成りたつ f(x) の最小値を とするとき mik

ベクトルの問題なんですけど、例題では不等号にイコールがついてないのに練習問題では不等号にイコールがついているのはなんでですか？

000 +161 29 基本事項 12 数学C 重要 例題 21 ベクトルの大きさと絶対不等式 して成り立つような実数kの値の範囲を求めよ。 00000 ||=1, |8|=2,=√2 とするとき,ka +t6 >1がすべての実数に対 A>0,B>0 のとき ここで \ka +t6 />1.･････ ①と同値である。 |ka+t6p=k2\d+2kta ||=1, |5|=2, a1= √2 であるから ka+t6p=k+2√2 kt+4t2 よって, ① から k2+2√2kt+4t>1 A>BA2>B² +12 スピュア (5) (E-AO (va)=10.J は として扱う ka +t6>1は ka+t62>12 いての2次式)>0 の形になる。 ・0 するとも きる部分 二示すと CHART & SOLUTION この式に対し, 数学Ⅰで学習した次のことを利用し、の値の範囲を求める。 tの2次不等式 at°+bt+c>0 がすべての実数について成り立つ ⇔a>0 かつ b-4ac< 0 解答 ka +t620 であるから, ka+t>1は B-10-20 基本18 よって ゆえに 1章 3 so =kx2+2kt×1 + t×12 4k+2kt+t... ① それぞ d= e= ･････ ① と同値である。 ① を計算して整理すると, (tにつ ベクトルの内積 ka +t620 であるから, ka + to≧2は ka + to ≧ 4... ②と同値である。 A≧0, B≧0 のと ABAB よっ よって, ①,② から 4k2+2kt+t^≧4 すなわち 2+2kt+4k2-40...... ③ ③ がすべての実数 tに対して成り立つための条件は, tの2次 J= は定数と考える。 PR 43 21 うな実数kの値の範囲を求めよ。 |||=2, |6|=1, |- =√3 とするとき, [ka +162 がすべての実数に対して成り立つ Aq PR 3 la-6=√3 の両辺を2乗して ||=2, |6|=1 を代入して a.b=1 |ka+t6p=ka+2kta +12 la-246+18=3 2-2à・6+1=3 【CHART はとして扱う ②23 点 の 3点D 方程式 2+2kt+4k2-4=0 の判別式をDとすると,の係数 は正であるから D≤0 また ドの係数>0.D0 9 ここで =k²-1×(4k²-4)=-3k²+4 (01- D よって -3k²+4≤0 ゆえに k²- ≥0 2 したがって110 D よって -2k²+4< 0 ゆえに k²-2>0 したがって k<-√2,√2<h INFORMATION 2次関数のグラフによる考察 上の CHART & SOLUTION で扱った絶対不等式は, 関数 y=at2+bt+c のグラフが常に 「t軸より上側」 にある, と して考えるとわかりやすい。 y すなわち 4t2+2√2kt+k-1>0 ② ② がすべての実数tに対して成り立つための条件は, tの2 次方程式 4t2+2√2kt+k-1=0 の判別式をDとすると, の係数は正であるから D<05 seal ここで =(√2k)²-4× (k²-1)=-2k²+4+ D<0 が条件。 問題の不等式の条件は PR ② がすべての実数に 対して成り立つこと。 ②24 PR 22 実数x, y, a, b が条件 x+y=1 および " + 6 =2 を満たすとき, ax + by の最大値、最小 値を求めよ。 5 p. を原点とする。 yt √2 x+y=1 を満たすx, y に対して (k+√2) (k-√2)>0 Q OP= (x,y)とし、 a2+b2=2をたす a, b に対して -√2-1 ゆ OQ= (a, b) とする よって 0° C y=af+bt+c 0 t [a>0かつb-4ac <0] PRACTICE 21° よって 2 (+by)2 ゆえに ||=2,|6|=1,|a|=√3 とするとき, ka+t6/≧2 がすべての実数に対して成 り立つような実数kの値の範囲を求めよ。 OP, OQ のなす角をすると OP.OQ=|OP||Cocose ax+by=1×√2 Xco -cos1でから 180°より, -√2 Sax+bys√2 ax + by の最大値は√2,最小値は 別解 コーシー・シュワルツの不等式から (a+b2+y^)≧ (ax+by)2 等号が成 よっ 2ax+bys√2 αy=bx のときである。 立つのは ax + by の最大値は2,最小値は√2 ←OP|=√x+y=1, E 100=√a+b=√2 すなわち, 80°のと き最大値, 0=180°のと き最小値をとる。 ルツの コーシー・シュワ は,PR 20 式について を参照。

この？とかいたところが全て意味わかりません。どうして急に判別式が出てくるのか教えて欲しいです！

36 ■重要 例題 17 ベクトルの大きさの条件と絶対不等式 000 kは実数の定数とする。 |a|=2, ||=3,|a-6|=√7 とするとき、 すべてに対して成り立つような 指針はとして扱うの考え方が基本となる。 *, |ka+tb|>√3 l \ka+tb>(√3)².. まずは一部= (7) を考えることで, a の値を求めておく。 ①と同値である。 ① を変形して整理すると pt2+gt+r>0(p>0)の形になるから,数学Ⅰで学習 次のことを利用して解決する。 2次不等式 at + bt+c > 0 が常に成り立つ D=ぴー4ac とすると CHART はとして扱う (*)ための必要十分条件は a>0 かつ D<0 基本 例題 18 内積と (1) せ。 OAB において (2) (1) を利用して3点 の面積Sをα1, a2, 指針 (1) △OAB の面 sino, a b (2) OA=(a1, G (1) ∠AOB=0( から la-61²=(√7)² 解答よって (a-b)•(a-b)=7 |解答 C 前ページの基本例 また, sin0 > (1)と同じ要領 S= ゆえに la-2a 6+16=7 い |a|=2, |6|=3であるから 4-2ã・6+9=7 したがって ã•b=3 また, kat√3はka +t>3 ①と同値でA>0,B>0のとき 12 ある。 A>B>A>B (2) OA=a, ① を変形すると すなわち k2la+2kta・+2部>3 9t2+6kt+4k2-3> 0 ...... 件は,tの2次方程式 9t2+6kt+4k2-3=0の判別式をD とすると,2の係数が正であるから D<0 ここで D=(3k)-9(4k2-3) =-27k2+27=-27(k-1) ②がすべての実数tについて成り立つための必要十分条 ての実数に対して 不等式を 絶対不等式 う。 y=at+bt+c/ 参考 指針の(*)のように =-27(k+1)(k-1) D<0 から (k+1)(k-1)>0 よって k<-1, 1<k (1) から, △ 表され (a•b)²=( ab ゆえに + 0 POINT AOAB a>0, 下に凸 軸と共 有点なし D<O ③ 17 である。 ベクトルb=a+60=a-6 は, Dl=4, 1=2 を満たし, ことのなす角ば (1)2つのベクトルの大きさ 7,16,および内積を求めよ。 (2)は実数の定数とする。すべての実 うなるの 成り立つ 検討 頂点がい 頂点がい が原点に 練習 次の3点 ② 18 (1) A(C

教えてください🙇🏻‍♀️‪‪´-

5 [実力確認問題] を定数とするとき, 不等式 ax≧3 を解け。 6 [実力確認問題] 不等式5(x-1)<2(2x+α) を満たす最大の整数xがx=6であるとき, 定数 a 値の範囲を求めよ。

例71の問題解説をみてもわかりません。 教えてください🙇‍♀️

学 ヨ 148 重要例題 2つの関数f(x)=x²-2x+a,g(x)=-ax2+2x が, すべての実数 X1, x2 に対し 71 2つの2次関数の大小関係 てf(x)>g(x2)を満たすとき,定数αの値の範囲を求めよ。 例題65 指針 「すべての実数x」について不等式が成り立つ問題 (絶対不等式) は例題 65で学んだが、 f(x)-g(x) を計算してもうまくいかないので, グラフを利用することを考える。 「すべての実数x, x2」で成り立つとなると事情が異なってくる。んだが、 2つの関数のグラフの位置関係を考えると,図 [1] のような場合はダメで,図[2]のよ うにy=f(x)のグラフがy=g(x) のグラフの上側にあればよいことがわかる。 [1] y A g(x) f(x) y=f(x) [2] y 最小値 y=g(x) 図のxxで f(x)<g(x2) 最大値 y=g(x) すべての実数 xxで f(x)>g(x) x x I « 1 解答 すべての実数 X1, X2 に対してf(x1)>g(x2) が成り立つた a<0, a=0のとき めの条件は,関数y=g(x) のグラフが上に凸の放物線で、 かつ [f(x) の最小値]>[g(x)の最大値] となることである。 数g(x)はいくらでも大 きな値をとるから,どん f(x)についても、そ れより大きい g(x)の値 が存在する。 このときa>0で 9(x) = -a (x−−1)² + 11/1 A y=f(x)/ a また f(x)=(x-1)2+α-1 最小値 最大値 よって,g(x)の最大値は 1/1 0 x f(x) の最小値は α-1 であるから a-1> 1 30 a y=g(x) 両辺に α (0)を掛けて整理すると a²-a-1>0 これを解いて a< 1-√5 1+√5 2 , 2<a a > 0 であるから 1+√5 a>. 2 8 <a-a-1=0 の解は 1±√5 a = 1 81 a: 2 を ① ③ (注意 CHAI 22 2次 とす f(x)