000
+161
29 基本事項
12 数学C
重要 例題 21
ベクトルの大きさと絶対不等式
して成り立つような実数kの値の範囲を求めよ。
00000
||=1, |8|=2,=√2 とするとき,ka +t6 >1がすべての実数に対
A>0,B>0 のとき
ここで
\ka +t6 />1.･････ ①と同値である。
|ka+t6p=k2\d+2kta
||=1, |5|=2, a1= √2 であるから
ka+t6p=k+2√2 kt+4t2
よって, ① から k2+2√2kt+4t>1
A>BA2>B²
+12
スピュア (5)
(E-AO (va)=10.J
は
として扱う
ka +t6>1は ka+t62>12
いての2次式)>0 の形になる。
・0
するとも
きる部分
二示すと
CHART & SOLUTION
この式に対し, 数学Ⅰで学習した次のことを利用し、の値の範囲を求める。
tの2次不等式 at°+bt+c>0 がすべての実数について成り立つ
⇔a>0 かつ b-4ac< 0
解答
ka +t620 であるから, ka+t>1は
B-10-20
基本18
よって
ゆえに
1章
3
so =kx2+2kt×1 + t×12
4k+2kt+t... ①
それぞ
d=
e=
･････ ① と同値である。 ① を計算して整理すると, (tにつ
ベクトルの内積
ka +t620 であるから, ka + to≧2は
ka + to ≧ 4... ②と同値である。
A≧0, B≧0 のと
ABAB
よっ
よって, ①,② から 4k2+2kt+t^≧4
すなわち 2+2kt+4k2-40...... ③
③ がすべての実数 tに対して成り立つための条件は, tの2次
J=
は定数と考える。
PR
43
21
うな実数kの値の範囲を求めよ。
|||=2, |6|=1, |- =√3 とするとき, [ka +162 がすべての実数に対して成り立つ
Aq
PR
3
la-6=√3 の両辺を2乗して
||=2, |6|=1 を代入して
a.b=1
|ka+t6p=ka+2kta +12
la-246+18=3
2-2à・6+1=3
【CHART
はとして扱う
②23 点
の
3点D
方程式 2+2kt+4k2-4=0 の判別式をDとすると,の係数
は正であるから D≤0
また
ドの係数>0.D0
9
ここで
=k²-1×(4k²-4)=-3k²+4 (01-
D
よって
-3k²+4≤0
ゆえに
k²- ≥0
2
したがって110
D
よって
-2k²+4< 0 ゆえに
k²-2>0
したがって
k<-√2,√2<h
INFORMATION
2次関数のグラフによる考察
上の CHART & SOLUTION で扱った絶対不等式は, 関数
y=at2+bt+c のグラフが常に 「t軸より上側」 にある, と
して考えるとわかりやすい。
y
すなわち 4t2+2√2kt+k-1>0 ②
② がすべての実数tに対して成り立つための条件は, tの2
次方程式 4t2+2√2kt+k-1=0 の判別式をDとすると,
の係数は正であるから D<05 seal
ここで
=(√2k)²-4× (k²-1)=-2k²+4+
D<0 が条件。
問題の不等式の条件は
PR
② がすべての実数に
対して成り立つこと。
②24
PR
22
実数x, y, a, b が条件 x+y=1 および " + 6 =2 を満たすとき, ax + by の最大値、最小
値を求めよ。
5
p.
を原点とする。
yt
√2
x+y=1 を満たすx, y に対して
(k+√2) (k-√2)>0
Q
OP= (x,y)とし、
a2+b2=2をたす a, b に対して
-√2-1
ゆ
OQ= (a, b) とする
よって
0°
C
y=af+bt+c
0
t
[a>0かつb-4ac <0]
PRACTICE 21°
よって
2 (+by)2
ゆえに
||=2,|6|=1,|a|=√3 とするとき, ka+t6/≧2 がすべての実数に対して成
り立つような実数kの値の範囲を求めよ。
OP, OQ のなす角をすると
OP.OQ=|OP||Cocose
ax+by=1×√2 Xco
-cos1でから
180°より,
-√2 Sax+bys√2
ax + by の最大値は√2,最小値は
別解 コーシー・シュワルツの不等式から
(a+b2+y^)≧ (ax+by)2
等号が成
よっ
2ax+bys√2
αy=bx のときである。
立つのは
ax + by の最大値は2,最小値は√2
←OP|=√x+y=1,
E
100=√a+b=√2
すなわち, 80°のと
き最大値, 0=180°のと
き最小値をとる。
ルツの
コーシー・シュワ
は,PR 20
式について
を参照。
ありがとうございます🙇🏻♀️