Question

りん

17番です。
二項定理の問題なのですが解答の2つ目のイコールからの式変形が分かりません…。（なぜnC0でくくった意図も分かりませんし、そもそもの式変形も分かりません。）
そして⬆️の話がどのようにして証明に繋がってくるのでしょうか。教えてください。

✓ 16 11 " を100で割ったときの余りを求めよ。
□ 17 等式 (1+x)"(x+1)"=(1+x)2" を用いて,次の等式を証明せよ。
n Co2+nCi2+....+nCn2=2nCn

17 (1+x)"(x+1)
=(nCo+nCix+......+nCnx")
x("Cox"+"Cixn-1+......+nCn)
nCxn-1+
= CoCox"+"Cix "-1 +......+"C雄)
n
n
+n
Cix(mCox+C1x"-1+......+"C")
+
......
+nCzx" ("Cox"+"C1x"-1++μCh)
(1+x)" (x+1)" の展開式において,x" の項の係
n
①
数は
月 Co2+mCi2+ + Cm 2
2n Cyxr
また,(1+x)2n の展開式の一般項は
よって, x” の項の係数は 2月 C
両辺のx" の項の係数は等しいから
Co2+C2+....+C2=2C

数学ii 二項定理 式変形 一般項 証明問題

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

くくっていません
展開のみしています

りん

すみません。一度は解決した！と思ったのですが疑問点が出てきたので教えて頂きたいです。

問題文に提示されていた等式（これを利用して…と書かれていたものです）を二項定理で展開して、x^nの係数を考えていることはわかったのですがそれをする理由は何でしょうか？
それとx^n以外の項の係数は考えなくていいのでしょうか？←おそらくこの質問は問題の本質を捉えられていないから出てくる質問な気もします。
二項定理で与えられた式を変形して、証明したいCが含まれる式と似た形にして…といった問題だと認識していますがこれは正しいでしょうか？
そして解答者さんの一方 以降の式を理解することが出来ません。丁寧に教えて下さったのに理解しきれていなくて申し訳ないです。出来ればもう一度教えて頂けませんでしょうか🙇‍♀️💦

和

>問題文に提示されていた等式を二項定理で展開して、
x^nの係数を考えていることはわかったのですが
それをする理由は何でしょうか？

Cの等式を示すときは二項定理を使う場合が多いです
二項定理自体がCの和の形だからです
与えられた式を用いてCの等式を示す問題だから、
与えられた式において二項定理を使うのは自然なことかと思います

二項定理で展開した結果、示すべきCの等式の一部が出てくること、
与えられた等式はもちろん恒等式であることから、
係数を比較するのもまた自然なことと思います

同様の問題で、もう少し教科書よりの問題があります
そういうものの定着がイマイチなまま来ていると思うので、
そちらをきちんと補うのが早道かと思います

>x^n以外の項の係数は考えなくていいのでしょうか？
二項定理で与えられた式を変形して、
証明したいCが含まれる式と似た形にして…
といった問題だと認識していますがこれは正しいでしょうか？

示すべき等式に関係ないのでいりません
両辺が多項式の恒等式は、
両辺の係数が一致するのは当たり前なので、
すでに成り立っている恒等式において、
確認のためにすべての係数の比較をする必要がありません

xⁿの比較をしているのは、
それによって示すべき等式が得られるからです

>解答者さんの一方 以降の式を理解することが出来ません。

二項定理のままです
もう少し具体的に聞いてください

りん

不明瞭だった事柄を理解することが出来ました。ありがとうございます。教科書の問題やその類題など解き直してみようと思います。たくさん疑問点に対するご丁寧な回答ありがとうございました🙇‍⤵︎