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数学 高校生

楕円についての問題なのですが、写真3枚目の解説でPC.CFの比がa:-ccosθなのはなぜ分かったのでしょうか?教えて頂きたいです。

楕円 +2 a2 + y 2 33楕円 62 199-33 =1 (a>b>0) 上に点Pをとる. ただし, Pは 第2象限にあるとする. 点Pにおける楕円の接線を1とし,原点を 通りに平行な直線を m とする. 直線と楕円との交点のうち, 第 1象限にあるものをAとする. 点Pを通りmに垂直な直線が m と交 ある点をBとする.また,この楕円の焦点で x 座標が正であるもの をFとする. 点Fと点Pを結ぶ直線が m と交わる点をCとする. 次 の問いに答えよ。 (1) OA・PB = ab であることを示せ. (2)PC = aであることを示せ. [大阪大〕 アプローチ 01-202 (楕円 (周) 上の点を設定するときは,ふつうはパラメータ表示を利用しま す ( 3 (D). いまの場合は P(a cos 0, b sin O) とおけます (ただし (aa, bβ) とおくこともある 34 (ハ) 三角関数を導入しておけば,三角関数の公式 (和積・合成・倍角・半角など) が使えて何かと便利です.本間は第2象限に 点をとるので cos00, sin0 0 であることに注意して下さい.また,楕 円の接線については32(イ). (D)2次曲線の離心率(定点からの距離と定直線までの距離の比が一定) に よる定義があります.これは詳しく覚えておく必要はありませんが,焦点か ら曲線上の点までの距離はきれいな式で求まることは頭に入れておいて下さ い つまり2点間の距離公式を利用しても最後は√がはずれるのです. (2)は計算でやれば必ずできるでしょうが、 かなり面倒な事になりそうで すそこでPF の長さが簡単に求まることはわかっているので, PC, CF の 長さの比を求めようと考えます. 合 x2 Placose, b sing) (書く0<x) とおくと、に + a² = 62 cos sin -x+ a by=1

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数学 高校生

なぜPF:PF'=FQ:F'Qだと、点Pにおける接戦が角FPF'の外角を2等分するということが分かるのですか? 回答よろしくお願いします。

練習 Step Up 末広 C2-136 (414) 第6章 式と曲線 D 15 (i) k> のとき =(a²-√a²-b²x): (a²+√ a²-b²+x1) 第6章 式と曲線 Check! 練習 (415) C2-137 Step Up 米問題 ①と②の共有点はない。 よって、(i)(面)より。 共有点の個数は, √15 k<- のとき, 2個 2 15 k=-- のとき. 1個 2 15 k>-- のとき, 個 2 C2.65 =1 (1) (460)焦点をF.F' とする.楕円上の点P (x,y)におけ する。 ある接線は FPF' の外角を2等分することを証明せよ. ただし, 0<x<a, yi>0 と xx yy 楕円上の点P(x1,y) における接線の方程式は, ......① a² b² =1 y=0 とおくと, x0より。 a² x= x₁ つまり、接線とx軸との交点をQ とすると,0 (2) 双曲線 61 (a>060) の焦点をF,F' とする. 双曲線上の点P (x1,y) における接線はFPF' を2等分することを証明せよ。ただし、とす る. (1) 焦点をF(60) F' (630) とする. 点(x,y)は楕円上の点より、 a²b つまり、 よって. PF'= (va'-b-x)'+yi =(√a²-b²-x1)²+ b²x² a 351-1 0<x<aよりacoであるから, となり, a² FQ: x1 √a²-b². F'Q=a+√a²-b² FQ: F'Q=(a√a²-6 x X1 =(a²-√a²-6x₁); (a²+√√a²-b³·x1) ② ① ② より PF:PF'=FQF'Q が成立する. したがって, 0<x<ay>0 のとき 楕円上の点 P(x1,y) における接線は, <FPF' の外角を2等分する (2)焦点をF(v'+b20) F^(-√'+120) とする. 点P(x1, y) は双曲線上の点より. つまり. よって, (5) +24 人 b2 PF'=(va'+62-x+y^ =(va'+b^-x^2+ b = 10-2+bx+a^ b2\x x²-2√3+62x1+α -07101 A2017 160 6 a √√√a-b PF= a ここで, 0<x<a で あり 34 ary <1 P(x, y) a Ka>b>0より. √a²-b 幻 <a で a あるから, √a-62 PF=α- F(VG-6,0) a F(√a-b²,0) また, PF +PF'=2a であるから, PF'=2a-PF=a+ √a²-b² -x1 a よって, a PF: PF'-(6-10-82.): (a + √4-82.) √a²-b² a D PF= a √√a+b x-a a √√a²+b² a x-a ここで,x>a>0で a a あり、 √√a²+b² ->1であ a P(x, y) るから, PF=YQ'+6? F^(-vo +6.0) QF(vo+6.0) a また,x>a より PF'-PF=2a であるか ら PF'=PF +2a= よって a+b -x+a a 80 <a>0b>0より a a 6 B1 B2 [C C2

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