場合分けの問題で、なぜ片方だけ＝が あるのですか？わかる方お願いします🤲

00000 重要 例 224 区間に文字を含む3次関数の最大・最小 f(x)=x-6x+9x とする｡ 区間 a≦x≦a+1におけるf(x)の最大値を 求めよ。 「指針 この例題は、区間の幅が1 (一定)で,区間が動くタイプである。 まず, y=f(x)のグラフをかく。次に,区間 a≦x≦a+1をx軸上で左側から移動し ながら, f(x) の最大値を考える。 場合分けをするときは,次のことに注意する。 A 区間で単調増加なら、 区間の右端で最大。 ® 区間で単調減少なら、 区間の左端で最大。 両極値をとるxの値がともに区間に含まれることはないから © 区間内に極大となるxの値があるとき, 極大となるxで最大。 ① 区間内に極小となるxの値があるとき, 区間の両端のうちf(x)の値が大きい方 で最大→区間の両端で値が等しくなる場合が境目となる。すなわち、 により場合分け。 f(a)/(a+1)となると① Max ① B A 最大 f'(x)=3x2-12x+9 =(x-1)(x-3) f'(x)=0 とすると k=1, 3 f(x) の増減表は次のようになる。 1 3 2- [拡大] 小 4. 0 f'(x) + f(x) > + 01 [1] [a+1 <1 すなわち α<0の [1] y とぎ 4F f(x)はx=g+1で最大となり M(a) =f(a+1) =(a+1)³-6(a+1)² +9(a+1) =a²³-3a²+4 よって, y=f(x)のグラフは右上の図のようになる。 ゆえに、f(x)のa≦x≦a+1 における最大値 M (α) は, 次 のようになる。 a M y=f(x) | 3 -最大 a+1 最大 3 または | 解答の場合分けの位置のイ メージ YA y=f(x) | 121131 a 01 Ca+1 a 3 a+11 <指針のA [区間で単調増 加で,右端で最大] の場 合。 [21] すなわち 0≦a <1のとき f(x)はx=1で最大となり M(a)=f(1)=4 次に, 2 <<3のとき, (a)=f(a+1) とすると a³-6a²+9a=a³-3a²+4 3a²-9a+4=0 ゆえに よって 検討 2-3 2<u <3と5<√33 <6に注意して 9+√33 のとき [3] 1≦a<- 6 f(x)はx=αで最大となり Q= M(a)=f(a)=a³-6a²+9a [4] 9+√33 αのとき 6 f(x)はx=a+1 で最大となり 以上から [2]y M(a)=f(a+1)=a³-3a²+4 -(-9) ± √(-9)²-4·3·4_9±√33 224 よ。 al 最大 [3]y+ 6 9+√33 6 [4]ya 最大 0 1. @ 3 a 05 1 9+√33 6 a<0, 0≦a <1のとき M (α) = 4 .9+√33 [1]≦a[k] [] 6 3 3次関数のグラフの対称性に関する注意 p.344 の参考事項で述べたように, 3次関数のグ ラフは点対称な図形であるが, 線対称な図形で はない。 すなわち, 3次関数がx=pで極値をと るとき, 3次関数のグラフは直線x=に関して 対称ではないことに注意しよう。 「上の解答のαの値を a+(a+1) 2 =3から a+1 a a+1 指針C [区間内に極大 となるxの値を含み、そ のxの値で最大] の場合、 最大 aa+1 a+1 ―≦a のとき M (a)=α²-3a²+4 指針の区間で単調減 で、左端で最大] また ① [区間内に極小とな るxの値がある] のうち 区間の左端で最大の場合。 のとき M(α)=α²-6a²+9a <指針の① [区間内に極小 となるxの値がある ] [の うち、区間の右端で最大 の場合。 または指針の [区間で単調増加で、 右 で最大] の場合。 357 3次関数の グラフ 「対称ではない 放物線 (線)対称 6 a=1 としてはダメ! ] 2 なお, 放物線は軸に関して対称である。 このことと混同しないようにしておこう。 f(x)=x-3x²-9x とする。 区間 t≦x≦t+2におけるf(x)の最小値m(t) を求め 2 最大値・最小値方程式・不等式

微分の問題で、赤い線で囲ったところがよくわかりません。どうしてf(x)-xの極限が0になったら漸近線となるのかがわかりません。 詳しく教えて欲しいです。お願いします。

E (1) y = x + 7/12 f(x) = x+ // f'(x) = (+(2²¹)'. 1 20² f"(x) = (-x-²)' 1 x f'(x) f'(x) f(x) 2x3 x70 111 2 x²=1 = (x + 1)(x-+) f'(x)=00x= x= ± / 20² 20² ** Tim (x+²/₂2 ) = 00 2740 f'(x)=0のとき |im (x + ½ x ) = -00. 17-0 より、y軸は、漸近線 y 1 2 解なし 極小 /im {f(x)-x} x7400 ŏ + 20 = lim 27700 U x Tim {f(x)-x} = 1 im / x X7-00 X7-00 よりx=0のときy=xは漸近線 J=x. DI 原点対称

青線で囲った部分、グラフのがいけいから対称だと言ってるのですが 理屈として対称だと証明するものはありますか？

302 基本 例 177 2曲線間の面積 0x2において、 2つの曲線y=sinx, y=sin 2x で囲まれた図形の面積 p.300 基本事項 2, 基本 176 重要 186~188 Sを求めよ。 2曲線が囲む図形の面積を求める場合, 2曲線の上下関係と共有点が重要な役割を果 指針 す。 ① まずグラフをかく。 [②] 2曲線の共有点のx座標を求め, 積分区間を決める。 L連立した方程式の実数解。 ③3 ② の区間における, 2曲線の上下関係を調べる。 ④ S(上の曲線の式)(下の曲線の式)}dx を計算して,面積を求める。 なお、図形の対称性を利用すると定積分の計算がらくになることがある。 CHART 面積計算はらくに 対称性を利用 曲線の共有点のx座標は, sinx = sin2x とすると 解答よって sinx (1-2cosx)=0 ゆえに 0≦x≦2であるから 1 sinx = 0 または cos x = 2 π 3' 5 π, π, 2π 3 x = 0. また、2曲線の位置関係は、 右の図のよう になり、面積を求める図形は点 (π, 0) に 関して対称。 よって, 0≦x≦の範囲で考えると 12s=. (sin2x-sinx)dx+f"(sinx-sin2x)dx = (sin2x-sinx)dx-S(sin2x-sinx)dx したがって =2(1/1+1/28)-(-/1/2+1)-(-1/12/ YA 1 0 S=5 1 -[-cos2x+cos x]-[-cos2x+cos x] O -1 5 - ¹) - 12/2 練習 次の曲線または直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 ② 177 (2) y=log- (1) y=xex, y=ex (0≦x≦1), x=0 (3) y=√3cosx, y = sin2x (0≦x≦ぇ) a 3 4-x y=f(x) y=sinx sinx=2sinxCOSx S y=g(x) S=$(f(x)-g(x)d 0≤x≤ b y=sin2x Ay 2曲線の上下関係は、 sinx-sin 2x =sinx (1-2cos.x)の 号から判断するのもよい sin2xsinx 7SxSx Cl sin 2x≤sinx y=logx X (x>0) 角 練習 ③ 178

記述の仕方ですが、「◯の符号が変わるので」という書き方でも大丈夫ですか？

(a, b) O a (a, -b) 注意｡ x, y) X き換 2次関数のグラフの対称移動 基本例題 14 | 2次関数y=2x²-5x+4のグラフを ( 1 )x軸 (2) y軸 (3) 原点 それぞれに関して対称移動した曲線をグラフにもつ2次関数を求めよ。 p.122 基本事項 ① 指針>関数y=f(x)のグラフを対称移動すると,次のように移る。 軸対称 y. A (x,y) YA 0 X軸対称 (x, y) 解答 (1) y を -y でおき換えて 0 -y=2x2-5x+4 x よって (2) x を -x でおき換えて y=-2x2+5x-4 y=2(-x)-5(-x)+4 [1-y=f(x) y=f(-x) ここでは,y=2x2-5x+4の式で次のようにおき換える。 [1] x 軸対称:y -y [3] 原点対称:x→-x, y→-y この [1], [2], [3]のおき換えによる解法は, 2次関数以外の関数のグラフについても利用 することができる。 って y=2x2+5x+4 (3)xを-x, y を -yでおき換 えて 0 -y=2(-x)-5(-x)+4 y=-2x2-5x-4 7/00 [2]y軸対称:x→-x 8 4 10 A -- 5 4 検討 例題 74 の別解 別アプ2の係数と頂点に着目して,次のように考えてもよい。 ローチ 原点対称 y 0 -y=f(-x) 644 xはそのまま。 < x²の係数の符号が変わる。 (上に凸のグラフになる。) yはそのまま。 < x2の係数は不変。 (下に凸のグラフのまま。) x2の係数の符号が変わる。 (上に凸のグラフになる。) *³, y=2x²–5x+4=2(x− 5)² + ² c ₁ p = { /. 9 = ² x B <. 5 で, とおく。 4' 8 x2の係数 頂点 求める 2次関数 (1) x軸対称: 2-2(p,g) →(p,-g) ➡y=-2(x-p)²-q (2) y軸対称: 2 2 (p, q) → (p, q) →y=2(x+p)2+q (3) 原点対称: 2 -2 (p,q) → (p,-g)y=-2(x+p)2-q 練習 2次関数y=-x2+4x-1のグラフを (1) x軸 (2) y軸 (3) 原点 のそれぞ 74 れに関して対称移動した曲線をグラフにもつ2次関数を求めよ。 123 3章 9 2次関数のグラフとその移動

至急！(3)の解説を詳しくお願いします🙏2枚目に解説があります。f(x)のXを√2に飛ばした時の極限の計算がうまくいきません。どなたかお願いします😣

127 次の曲線の凹凸を調べてグラフを描け。 また漸近線(直線)が存在する場合は、 求めよ logx (2) y = xé (1)y=- (4) y=2x(x-3)2 X (3) y=x√√2-x²

解説の原点に関して対称移動する前は頂点(-2,3)の式はなぜ頂点(2,-3)の式にマイナスがかけられているのですか？

7 ある放物線を原点に関して対称移動して, 軸方向に -2,y 軸方向に3 だけ平行移動したら、放物線y=x2 に移った。もとの放物線の方程式 を求めよ。

この3問の求め方を教えてくださいm(_ _)m

□ 152 放物線 y=x2 を平行移動したもので, 2点 (2,1),(3,3) を通る放物線 の方程式を求めよ。 □ 153 放物線y=2x² を平行移動したもので,点(0, -2) を通り, 頂点が直線 y=2x-6 上にある放物線の方程式を求めよ。 □ 154 放物線y=x2-2x-3 を原点に関して対称移動した後,x軸方向に平行移 動したもので,点(-1, 0) を通る放物線の方程式を求めよ。

(2)のどうして、 Y=-2x２乗+qと表すのかが分かりません。 教えてください

-29 28 2次関数y=2x²+8x+12のグラフがある。 これをグラフAと呼ぶこと にする。 (1) グラフAをどのように平行移動すれば, 原点を通り, 最小値が−18 と なるか。 (2) グラフAをどの点について対称移動すれば, 軸がy軸と一致し、点 (30) を通るか。 (3) グラフAとy=4x+10の共有点の座標を求めよ。 [13 中京大〕

4－aが駄目なのは何なぜですか？

と PRの真ん中がA 79 線対称 を原点とする座標平面上に 2点A(1, 2), P(43) がある. 意に関して、 P と対称な点 R の座標を求めよ. 直線OAに関して Pと対称な点Qの座標を求めよ. (287) 解答 (3) Rimm) とすると、点が線分PR の中点になるから( 4+1, 3+=2 となる。これを解くと, m=2,n=1となるから R(-2, 1) (2) 直線OA の式はy=2x である. Q(a, b) とする. 分PQの中点 (4+a3+b) 2 3+b 4+a 2 また、直線PQの傾きは b-3 a-4 342 がy=2x上にあるから、 の必勝ポイントー b-3 a-4 -×2= (6-3)-2=-(a-4) a+2b=10 ①,②を解くと, a=0, b=5となるから, Q(0, 5) R ….① Q+ (北海道工業大 2直線が垂直になるのは、 0 0 ..-2a+b=5 であるが､直線PQ と y=2xは直交するから # A(1,2) 傾きの積が1のときである 解説講義 (1)のようなPとRの関係を点対称。 (2)のようなPとQの関係を線対称という。 点対称はとても易しい。 線分PRの中点がAになっていることに注目するだけである 線対称は点対称に比べると複雑であるが,これも決して難しい話 はない。 「2点P、Qが直線について対称」とは 「直線で折り げるとPとQが重なる」ということである.したがって (i) 線分PQの中点が上にある (Ⅱ) (直線PQ) 1 う2つのことに注目して式を立てて考えればよい。

(2)についてなのですが、答えはy=-(x-1)2乗-1と なっているのですが、原点に対して対称移動なので、xとyどちらともに動くので-y=-(x-1)2乗+1となって、答えはy=(x-1)-1となるのではないのでしょうか、、🙇‍♀️💦

放物線 y=x2-2x+2 …. ① について (1) ① の頂点の座標, 軸の方程式を求め, グラフをかけ。 (2) ① を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ。 (3) ①のグラフをx軸方向に p, y 軸方向に gだけ平行移動し、さ らにy軸に関して対称移動すると放物線y=x2+4x+1になっ た。 p, g の値を求めよ。