自然数の2乗となる数を平方数という。
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(1) 自然数 α, n,kに対して, n(n+1)+α= (n+k)が成り立つとき.
a≧k²+2k-1
が成り立つことを示せ。
(2) n(n+1)+14 が平方数となるような自然数n をすべて求めよ。
ポイント (1)〔解法1〕 α= (n+k) -n (n+1) であるから a- (h+2k-1)を式変形
a=
して0以上となることを示す。
〔解法2] a=(n+k) -n (n+1) を式変形し,nについて整理する。 不等式の評価を用
いて示す。
(2) (n+1) + 14 はより大きいので自然数kを用いて (n+k) とおける。 α = 14 と
して (1) で示した不等式からんの範囲を限定し, kの値をn(n+1)+14=(n+k)²へ代入
して自然数n をすべて求める。
解法 1
(1) n(n+1)+α=(n+k)より,a=(n+k)^-n(n+1) であるから
a- (k²+2k-1)=(n+k)-n(n+1)-(k²+2k-1)
=2nk-n-2k+13 L2-15
= (2k-1)n- (2k-1)
= (2k-1) (n-1) 右辺はの
ここでk, nは自然数であるから, 2k-1>0, n-1≧0より
a- (k2+2k-1)≧0
よって, ak^+2k-1が成り立つ。
TXTY
(証明終)
